Question

Alguem ajuda por favor!!!
Calcule o Limite:

Answer 1

Limites são importantes para desenvolver teoremas e descobrir comportamentos de funções, seja de uma ou várias variáveis.

É comum que tenhamos que calcular limites com indeterminações, verificar o limite em pontos não definidos da função entre outros,

Temos então:

                               $\Large\begin{aligned}f(x)=\dfrac{x^4-10x+4}{x^3-2x^2}\end{aligned}$

E no dominio da função temos:

$\Large\text{ \begin{aligned}D = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x\ne2 \}\end{aligned} }$

Ou seja, x = 2 não está definido nesta função, mas podemos calcular o limite de quando x se aproxima de 2, logo:

                         $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x \to 2} &\ \dfrac{x^4-10x+4}{x^3-2x^2}\\ \\\lim_{x \to 2} &\ \dfrac{2^4-10\cdot 2+4}{2^3-2(2)^2}\\ \\\lim_{x \to 2} &\ \dfrac{16-20+4}{8-8}\\ \\\lim_{x \to 2} &\ = \dfrac{0}{0}\\ \\\end{aligned}$

Indeterminação

Então teremos que manipular essa expressão para calcular o limite, eliminando esse denominador com 0.

                         $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x \to 2} &\ \dfrac{x^4-10x+4}{x^3-2x^2}\\ \\\lim_{x \to 2} &\ \dfrac{x^4-10x+4}{x^2(x-2)}\\ \\\lim_{x \to 2} &\ \dfrac{x^4-10x+4}{x^2(x-2)}\\ \\\lim_{x \to 2} &\ \dfrac{(x-2)(x^3+2x^3+4x-2)}{x^2(x-2)}, \ (i)\\ \\\lim_{x \to 2} &\ \dfrac{x^3+2x^3+4x-2}{x^2}\\ \\\end{aligned}$

Agora não há mais indeterminação, podemos então calcular o limite de fato:

                         $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x \to 2} &\ \dfrac{x^3+2x^2+4x-2}{x^2}\\ \\\lim_{x \to 2} &\ \dfrac{2^3+2(2)^2+4(2)-2}{2^2}\\ \\\lim_{x \to 2} &\ \dfrac{8+2\cdot4+8-2}{4}\\ \\\lim_{x \to 2} &\ \dfrac{8+8+6}{4}\\ \\\lim_{x \to 2} & \ \dfrac{11}{2}\\ \\\end{aligned}$

Logo,

                        $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x \to 2} &\ \dfrac{x^4-10x+4}{x^3-2x^2} = \dfrac{11}{2}\\ \\\end{aligned}$

Obs:

Na passagem marcada com (i) utilizei o Teorema de D'Alembert, o teorema diz que se P(a) = 0, então o polinômio é divisível por (x - a), como P(2) = 0, podemos dividir o polinômio que está no numerador por (x - 2) já que ele é uma raiz.

Esse teorema é muito utilizado para resolver limites com polinômios.

Podemos resolver por L'Hôpital também, essa regra só é valida para indeterminações do tipo: 0/0 e ±∞/±∞, sendo assim a definição é:

                       $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x\to p} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to p} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}, \ g'(x) \ne 0\end{aligned}$

Primeiro vamos calcular as derivadas

$\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x) &= x^4-10x+4\\ \\g(x) &= x^3-2x^2\\ \\\\f'(x) &=4x^3-10\\ \\g'(x) &=3x^2-4x\\ \\\end{aligned}$

Agora que temos as derivadas vamos aplicar a regra:

                         $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x\to 2}\ & \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\\ \\\lim_{x\to 2}\ & \dfrac{4x^3-10}{3x^2-4x}\\ \\\lim_{x\to 2}\ & \dfrac{4(2)^3-10}{3(2)^2-4\cdot 2}\\ \\\lim_{x\to 2}\ & \dfrac{4\cdot 8-10}{3\cdot 4-8}\\ \\\lim_{x\to 2}\ & \dfrac{32-10}{12-8}\\ \\\lim_{x\to 2}\ & \dfrac{22}{4}\\ \\\lim_{x\to 2}\ & \dfrac{11}{2}\\ \\\end{aligned}$

Portanto, confirmando nosso resultado:

                         $\Large\displaystyle\begin{aligned}\lim_{x \to 2} &\ \dfrac{x^4-10x+4}{x^3-2x^2} = \dfrac{11}{2}\\ \\\end{aligned}$

Espero ter ajudado,

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

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