Matemática, perguntado por domingossonhador, 9 meses atrás

Alguém ajuda-me por gentileza? A figura abaixo mostra um triângulo equilátero de lado 3 cm inscrito em um hexágono de lado E. Calcule a área da região sombreada.

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por JoséSalatiel
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  ➺  A área de um triângulo equilátero obedece uma fórmula simples (demonstração em anexo):

\bf{A_{TE}=\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}}\\\\\\A_T_E=\dfrac{3^2\sqrt{3}}{4}\\\\\\\boxed{\bf{A_T_E=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\;cm^2}}

  ➺  Caso queira a área da região sombreada também, temos que descobrir o valor de E através da Lei dos Cossenos.

  ➺  Um dos triângulos sombreados possui lados E, E e 3 cm. O ângulo oposto ao lado de 3 cm é 120°, visto que, todos os ângulos internos de um hexágono regular são iguais a 120°.

\bf{3^2=E^2+E^2+2\cdot E\cdot E\cdot cos120\°}\\\\9=2E^2+2E^2\cdot\dfrac{1}{2}\\\\9=2E^2+E^2\\\\3E^2=9\\\\E^2=\dfrac{9}{3}\\\\E^2=3\\\\E=\sqrt{3}\;cm

  ➺  Sabendo o valor de E, agora é possível calcular a área do hexágono, para descobrir a área sombreada, só subtrair a área do triângulo equilátero.

\bf{A_H=6\cdot\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}}\\\\\\A_H=6\cdot\dfrac{\sqrt{3}^2\cdot\sqrt{3}}{4}\\\\\\A_H=6\cdot\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\\\\\\\boxed{\bf{A_H=\dfrac{18\sqrt{3}}{4}\;cm^2}}

  ➺  Área da região sombreada:

\bf{A_S=A_H-A_T_E}\\\\\\A_S=\dfrac{18\sqrt{3}}{4}-\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\\\\\\\boxed{\bf{A_S=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\;cm^2}}

Respostas:

\bf{\'Area\;do\;Tri\^angulo\;Equil\'atero\rightarrow\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\;cm^2}\\\\\bf{\'Area\;do\;Hex\'agono\rightarrow\dfrac{18\sqrt{3}}{4}\;cm^2}\\\\\bf{\'Area\;da\;Regi\~ao\;Sombreada\rightarrow\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\;cm^2}

  ➺  Saiba mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/30207929

Espero ter ajudado.

Bons estudos! :)

Anexos:

guilhermeivoah: O cosseno de 120 graus não seria (-1/2)?
JoséSalatiel: De fato, vou corrigir.
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