Question

Alguém ai pra calcular esse limite ai pra mim com o passo a passo? Já estou pra ficar louco.

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\lim_{x\to 0} \frac{x+\sqrt[3]{x^2+\sin(3x)}}{\ln(x^2+x+1)}$

Seria bem difícil fazer por manipulações algébricas de ficar multiplicando pelo conjugado de tal expressão, etc. Primeiro vamos iniciar substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\lim_{x\to 0} \frac{0+\sqrt[3]{0^2+\sin(3.0)}}{\ln(0^2+0+1)} \longrightarrow \lim_{x\to 0} \frac{0+0}{\ln(1)} \longrightarrow  \lim_{x\to 0} \frac{0}{0}  \longrightarrow \: indeterminc \tilde{a}o$

Observe essa indeterminação acima.

$\boxed{\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}  =  \frac{0}{0}  \:  \: e \:  \: \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}  =  \frac{ \infty }{ \infty } }$

A regra de L'Hôpital diz que se temos uma indeterminação desse tipo acima, podemos derivar o numerador e o denominador até que a indeterminação suma:

$\boxed{\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}  =  \frac{0}{0}  \:  \: ou \:  \: \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}  =  \frac{ \infty }{ \infty } \longrightarrow \lim_{x\to a} \frac{ \frac{d}{dx} f(x)}{ \frac{d}{dx} g(x)}}$

Aplicando essa regra no nosso limite, temos que:

$\lim_{x\to 0} \frac{ \frac{d}{dx} (x +  \sqrt[3]{x {}^{2}  +  \sin(3x)} }{  \frac{d}{dx} \ln(x {}^{2}  + x + 1)}$

Fazendo as derivações separadamente:

$\frac{d}{dx} (x +  \sqrt[3]{x {}^{2}  +  \sin(3x)} )  \to \frac{d}{dx}x +  \frac{d}{dx}  \sqrt[3]{x {}^{2} +  \sin(3x) }$

Essa segunda derivada será bem chatinha de se calcular, já que ela trata-se de uma função composta, ou seja, devemos aplicar a regra da cadeia. Então:

$\frac{d}{dx} x +  \frac{d}{dx}  \sqrt[3]{x {}^{2}   +  \sin(3x)} \\ 1 +  \frac{d}{dx} (x {}^{2}  +  \sin(3x)) {}^{ \frac{1}{3} }$

Lembre-se que a regra da cadeia é dada por:

$\boxed{ \frac{d}{dx} (f(x)) {}^{n}  = n.(f(x)) {}^{n - 1} . \frac{d}{dx} f(x)}$

Aplicando essa regra citada acima:

$1 +  \frac{1}{3} .(x {}^{2}  +  \sin(3x)) {}^{ \frac{1}{3} - 1 } . \frac{d}{dx } (x {}^{2}  +  \sin(3x)) \\ 1 +  \frac{1}{3} .(x {}^{2}  +  \sin(3x)) {}^{ -  \frac{2}{3} } .(2x + 3 \cos(3x)) \\ 1 +  \frac{1}{3} . \frac{1}{(x {}^{2}  +  \sin(3x)) {}^{ \frac{2}{3} } } .(2x + 3 \cos(3x)) \\ \boxed{ 1 +  \frac{(2x + 3 \cos(3x))}{3 \sqrt[3]{(x {}^{2} +  \sin(3x)) {}^{2}  } } }$

Derivando o denominador:

$\frac{d}{dx}  \ln(x {}^{2}  + x + 1) \longrightarrow  \frac{1}{x {}^{2} + x + 1 }  .(2x + 1) \\  \\ \frac{d}{dx}  \ln(x {}^{2} +   x +1)\longrightarrow  \boxed{\frac{2x + 1}{x {}^{2}  + x + 1}}  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:$

Substituindo essas derivações no limite:

$\lim_{x\to 0} \frac{1 +  \frac{(2x + 3 \cos(3x))}{3 \sqrt[3]{(x {}^{2} +  \sin(3x)) {}^{2}  } }}{ \frac{2x + 1}{x {}^{2}  + x + 1} }  \\  \\ \lim_{x\to 0} \frac{ \frac{1.(3 \sqrt[3]{(x {}^{2} +  \sin(3x)) {}^{2}  }  + 2x + 3 \cos(3x)}{3 \sqrt[3]{(x {}^{2} +  \sin(3x)) {}^{2}  } }}{ \frac{2x + 1}{x {}^{2}  + x + 1} }  \\  \\ \lim_{x\to 0}  \frac{3 \sqrt[3]{(x {}^{2} +  \sin(3x)) {}^{2}  }  + 2x + 3 \cos(3x)}{3 \sqrt[3]{(x {}^{2} +  \sin(3x)) {}^{2}  } }. \frac{x {}^{2}  + x + 1}{2x + 1}$

Provavelmente sumimos com a indeterminação, então vamos substituir o valor a qual o "x" tende novamente, então:

$\lim_{x\to 0}  \frac{3 \sqrt[3]{( 0 {}^{2}  +  \sin(3.0) {}^{2} ) }+ 2.0 + 3.\cos(3.0)}{3. \sqrt[3]{(0 {}^{2} +  \sin(3.0)) {}^{2} } } . \frac{0{}^{2}  + 0 + 1}{2.0 + 1}  \\  \\ \lim_{x\to 0} \frac{0 + 0 + 3.1}{3.0 + 0} . \frac{1}{1} \longrightarrow \lim_{x\to 0} \frac{3}{0}  \to \nexists \lim_{x\to 0}f(x)$

A indeterminação ainda continua, mas para ter que derivar de novo essa função, seria bem chato e complicado, então eu assumi logo que esse limite não existe, mas para comprovar isso, é necessário analisar se os limites laterais são iguais. Fazendo isso:

$\lim_{x\to 0 {}^{ + } }  \frac{3 \sqrt[3]{( x {}^{2}  +  \sin(3x) {}^{2} ) }+ 2x + 3.\cos(3x)}{3. \sqrt[3]{(x{}^{2} +  \sin(3x)) {}^{2} } } . \frac{x{}^{2}  + x + 1}{2x + 1} =  \lim_{x\to 0{}^{ - } }  \frac{3 \sqrt[3]{( x{}^{2}  +  \sin(3x) {}^{2} ) }+ 2x + 3.\cos(3x)}{3. \sqrt[3]{(x{}^{2} +  \sin(3x)) {}^{2} } } . \frac{x{}^{2}  + x + 1}{2.x + 1}  \\ \\ \lim_{x\to 0 {}^{ + } }  \frac{3}{0 {}^{ + } } = \lim_{x\to 0 {}^{ - } }  \frac{3}{0 {}^{ - } } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Quando temos um valor um valor muito pequeno se aproximando pela direita, sabemos que o limite tende a + infinito, já quando tem-se um valor muito pequeno se aproximando pela esquerdaa, sabemos que o limite tende a - infinito, logo:

$\lim_{x\to 0 {}^{ + } } \frac{3}{0 {}^{ + } }  \lim_{x\to 0 {}^{ - } }  \frac{3}{0 {}^{ - } } \\ \\ \infty = - \infty \longrightarrow \nexists \lim_{x\to 0 {}^{ } } f(x)$

Como os valores não são iguais, pode-se dizer então que o limite bilateral não existe.