Question

Alguém ai pode me ajudar?!

(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.

(b) Encontre a série de Fourier da dada função.

$f(x)=\begin{Bmatrix}x+1,~~se~~-1\leq x<0,\\1-x,~~se~~0\leq x<1;\end{matrix}~~~~f(x+2)=f(x)$

Por favor, respondam em LaTeX para que fique mais "entendível"

Answer 1

Se eu ainda lembro alguma coisa de série de fourier deve ser isso. Desculpe qualquer eventual erro. Acho que com isso já dá pra ter uma ideia.

O enunciado diz que 2L = 2 - > L = 1. Calculemos então os coeficientes da série.
$a_0 = \frac{1}{L} \int\limits^L_{-L} {f(x)} \, dx = \int\limits^0_{-1} {x+1} \, dx + \int\limits^1_0 {1-x} \, dx \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

$a_n = \frac{1}{L} \int\limits^0_{-1} {(x+1)cos( \frac{n \pi x}{L})} \, \frac{1}{L} dx + \int\limits^1_0 {(1-x)cos( \frac{n \pi x}{L})} \, dx \\ a_n = \frac{1-cos(n\pi)}{n^2\pi^2} + \frac{1-cos(n\pi)}{n^2\pi^2} = \frac{2}{n^2 \pi^2}cos(n\pi)$

Como a função f(x) é par então os termos $b_n$ não precisam ser calculados pois serão todos iguais a 0.

A série fica então f(x) = $\frac{a_0}{2}$ + Somatório(n=1 até ∞) $a_n cos(\frac{n \pi x}{L})$
f(x) = $\frac{1}{2}$ + Somatório(n=1 até ∞)$\frac{2}{n^2 \pi^2}[1-cos(n\pi)]cos(n\pi x)$