Question

Algebricamente, como encontro as raízes da equação: 

 

$x^3-6x^2+8=0$

 

 

Answer 1

Olá, Rareirin.

 

Antes da solução, faremos uma breve introdução histórica, para que não fiquemos sem saber a sua origem.

O matemático italiano Niccolo Tartaglia, em 1535, em resposta a um desafio proposto por um outro matemático amigo seu, descobriu um método para resolver equações cúbicas da forma  $x^3+px+q=0.$

Este método ficou conhecido como Método de Cardano –Tartaglia, pois outro matemático italiano, Girolamo Cardano, na época também seu amigo, após conhecer a solução da boca do próprio Tartaglia, publicou-a 10 anos depois, em 1545, em seu livro, como se fosse sua.

Este fato causou enorme inimizade entre os dois e suas ásperas discussões e polêmicas ficaram célebres à época.

Feitas estas considerações históricas iniciais, vamos ao método, que é muito interessante e bonito.

 

$<var>x^3-6x+8=0</var>$

 

Façamos a seguinte mudança de variável:  $x = u+v$

 

$<var>\Rightarrow (u+v)^3-6(u+v)+8=0\\\\ \Rightarrow u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-6(u+v)+8=0\\\\ \Rightarrow u^3+v^3+3uv(u+v)-6(u+v)+8=0</var>$

 

Para podermos eliminar o termo que acompanha  $u+v,$ vamos impor, sem perda de generalidade, uma segunda condição para as variáveis u e v:

 

$uv=2 \Rightarrow v=\frac{2}{u}$

 

$<var>\Rightarrow u^3+(2/u)^3+6(u+v)-6(u+v)+8=0 \\\\ \Rightarrow u^3+(2/u)^3+8=0 \\\\ \Rightarrow u^3 + 8/u^3 + 8 = 0 \\\\ \Rightarrow u^6+8u^3+8=0 \\\\</var>$

 

Façamos, agora, uma segunda e última mudança de variável:  $<var>u^3=y </var>$

 

$<var>\Rightarrow y^2 + 8y + 8=0</var>$

 

Conseguimos, assim, com duas engenhosas mudanças de variável, reduzir um problema de se encontrar a raiz de uma equação cúbica, aparentemente sem solução, a um problema de se encontrar a raiz de uma equação quadrática, que conhecemos muito bem.

 

Pela Fórmula de Bhaskara, temos:

 

$<var>\Delta=64-32=32 \Rightarrow \sqrt\Delta =\sqrt{32}=\sqrt{16 \cdot 2}=4\sqrt2 \\\\ \Rightarrow y = \frac{-8 \pm 4\sqrt2}2 \Rightarrow y=-4 \pm 2 \sqrt 2\\\\\\ \Rightarrow \begin{cases}u = \sqrt[3] {-4 \pm 2 \sqrt 2}=-\sqrt[3] {4 \pm 2 \sqrt 2} \\ v =\frac2{u}= -\frac{2}{ \sqrt[3] {4 \pm 2 \sqrt 2}} \end{cases}</var>$

 

 

$<var>\therefore x = u+v \Rightarrow \boxed{x=-\sqrt[3] {4 \pm 2 \sqrt 2} -\frac{2}{ \sqrt[3] {4 \pm 2 \sqrt 2}}}</var>$

 

é a solução da equação  $x^3-6x+8=0$