Question

(Algebra)
Utilize o processo de Gram-Schmidt para transformar os vetores da base u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 1, 0) em uma base ortonormal.

Answer 1

A base ortonormal, obtida a partir do processo de Gram-Schmidt é

  $\displaystyle\text{ \begin{gathered}e_1 = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \ \frac{\sqrt{3}}{3}, \ \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\quad e_2 = \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}, \ \frac{\sqrt{6}}{6}, \ \frac{\sqrt{6}}{6}\right)\quad e_3 = \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\ , \ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\end{gathered} }$

Para fazer o processo de Gram-Schmidt os conceitos de produto interno (produto escalar) e projeção devem estar bem claros, pois é basicamente projeção a todo momento.

Sendo assim, considerando os vetores u e v em $\large\displaystyle\begin{gathered}\\\mathbb{R}^3\end{gathered}$ temos que o produto interno usual é dado por:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}u = \left(u_1, \ u_2, \ u_3\right)\qquad v = \left(v_1, \ v_2, \ v_3\right)\\ \\ \left\langle u, v \right\rangle = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3\end{gathered}$

Ou seja, multiplica as coordenadas correspondentes e realiza a soma, o produto interno usual pode ser expandido para $\large\displaystyle\begin{gathered}\\\mathbb{R}^n\end{gathered}$, como

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}u = \left(u_1, \ u_2,\ldots, \ u_n\right)\qquad v = \left(v_1, \ v_2,\ldots ,\ v_n\right)\\ \\ \left\langle u, v \right\rangle = \sum^{n}_{i=1}u_nv_n\end{gathered}$

E para fazer a projeção de um vetor u sobre um vetor v temos

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\text{proj}_v u = \frac{\left\langle u, v\right\rangle}{\left\langle v, v\right\rangle}v\end{gathered}$

Lembrando que:

                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\|v\|^2 =\left\langle v, v\right\rangle \end{gathered}$

Como só temos três vetores, a base ortogonal é obtido pelo processo de Gram-Schmidt para três vetores, que é:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}v_1 &= u_1\\ \\v_2 &= u_2 - \text{proj}_{v_{1}}u_2\\ \\v_3 &= u_3- \text{proj}_{v_{2}}u_3 - \text{proj}_{v_{2}}u_3\\ \\\end{aligned} }$

Note que estamos pegando os vetores de nossa base, e retirando a projeção deles com os outros vetores que a compõem, não é dificil ver que se temos uma base com n elementos, a ortogonalização é dada por:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}v_1 &= u_1\\ \\v_2 &= u_2 - \text{proj}_{v_{1}}u_2\\ \\v_3 &= u_3- \text{proj}_{v_{1}}u_3 - \text{proj}_{v_{2}}u_3\\ \\ \vdots \\v_n &= u_n - \sum_{i=1}^{n-1}\text{proj}_{v_{i}}u_n\end{aligned} }$

Indo para o exercício de fato, se temos os vetores u1, u2 e u3 basta aplicar o processo, logo

$\Large\displaystyle\begin{aligned}v_1 &= u_1\\ \\v_2 &= u_2 - \frac{\left\langle u_2, v_1\right\rangle}{\left\langle v_1, v_1\right\rangle}v_1 \\ \\v_3 &= u_3- \frac{\left\langle u_3, v_1\right\rangle}{\left\langle v_1, v_1\right\rangle}v_1 - \frac{\left\langle u_3, v_2\right\rangle}{\left\langle v_2, v_2\right\rangle}v_2 \\ \\\end{aligned}$

Calculando as projeções:

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{\left\langle u_2, v_1\right\rangle}{\left\langle v_1, v_1\right\rangle}v_1 = \frac{2}{3}v_1\\ \\\frac{\left\langle u_3, v_1\right\rangle}{\left\langle v_1, v_1\right\rangle}v_1 = \frac{1}{3}v_1\\ \\\\ \\\end{gathered}$

Portanto

$\Large\displaystyle\begin{aligned}v_1 &= u_1\\ \\v_2 &= u_2 - \frac{2}{3}v_1\\ \\v_3 &= u_3 - \frac{1}{3}v_1 - \frac{\left\langle u_3, v_2\right\rangle}{\left\langle v_2, v_2\right\rangle}v_2 \\ \\\end{aligned}$

Agora temos que fazer

$\Large\displaystyle\begin{aligned}v_1 &= (1, \ 1, \ 1)\\ \\v_2 &= (0, \ 1, \ 1) - \frac{2}{3} (1, \ 1, \ 1)\\ \\v_3 &= (0, \ 1, \ 0) - \frac{1}{3}(1, \ 1, \ 1) - \frac{\left\langle u_3, v_2\right\rangle}{\left\langle v_2, v_2\right\rangle}v_2 \\ \\\end{aligned}$

Então:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}v_1 &= (1, \ 1, \ 1)\\ \\v_2 &= \left(-\frac{2}{3}, \ \frac{1}{3}, \ \frac{1}{3}\right)\\ \\v_3 &= (0, \ 1, \ 0) - \frac{1}{3}(1, \ 1, \ 1) - \frac{1}{2}\left(-\frac{2}{3}, \ \frac{1}{3}, \ \frac{1}{3}\right) \\ \\\end{aligned}$

E por fim,

$\Large\displaystyle\begin{aligned}v_1 &= (1, \ 1, \ 1)\\ \\v_2 &= \left(-\frac{2}{3}, \ \frac{1}{3}, \ \frac{1}{3}\right)\\ \\v_3 &= \left(0, \ \frac{1}{2}, \ -\frac{1}{2}\right) \end{aligned}$

Porém o enunciado pede a base ortonormal, ou seja, temos que dividir os vetores da base ortogonal pela sua norma, sendo assim a base é dado por:

                                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}e_1 = \frac{v_1}{\|v_1\|}\\ \\e_2 = \frac{v_2}{\|v_2\|}\\ \\e_3 = \frac{v_3}{\|v_3\|}\end{gathered}$

Logo a base ortonormal é:

   $\displaystyle\text{ \begin{gathered}e_1 = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \ \frac{\sqrt{3}}{3}, \ \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\quad e_2 = \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}, \ \frac{\sqrt{6}}{6}, \ \frac{\sqrt{6}}{6}\right)\quad e_3 = \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\ , \ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\end{gathered} }$

Espero ter ajudado

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