Question

Algebra resolva a equação xdy - y2 dx =0

Answer 1

Temos a seguinte equação diferencial:

$x dy - y {}^{2} dx = 0$

Note que é uma EDO de variáveis separáveis, portanto vamos iniciar fazendo essa separação:

$xdy = y {}^{2} dx \to \frac{dy}{y {}^{2} } = \frac{dx}{x}$

Integrando ambos os lados da equação:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \int \frac{dy}{y {}^{2} } = \int\frac{\: dx}{x}$

Ambas integrais são de fácil resolução, pois a primeira trata-se da regra da potência e a segunda uma integral já conhecida que é dada pelo logarítmo natural da variável:

$\int y {}^{ - 2}dy = \ln( |x| ) \longrightarrow \frac{y {}^{ - 2 + 1} }{ - 2 +1 } = \ln( |x| ) \\ \\ \frac{y {}^{ - 1} }{ - 1} = \ln( |x| ) \longrightarrow - \frac{1}{y} = \ln (|x| ) + c \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Isolando y:

$- \frac{1}{y} = \ln(x) + c \to \: y = - \frac{1}{ \ln( |x| ) + c}$

Espero ter ajudado