Question

(ÁLGEBRA LINEAR)

Seja $A = \left[\begin{array}{ccc}a&1\\0&a\end{array}\right]$ a matriz associada a uma transformação linear T. Para quais valores de "a", T é diagonalizável?

Answer 1

Resposta: O operador linear $T$ não é diagonalizável, independente de qual seja o valor de $a\in\mathbb{R},$ pois só existe um autovetor associado ao operador linear $T,$ e este sozinho não gera o $\mathbb{R}^2.$

Explicação passo a passo:

Como $A=\begin{bmatrix} a&1\\ 0&a\end{bmatrix}$ é uma matriz 2 × 2, então ela é associada a uma transformação $T:~\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2.$

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz $A.$ Devemos ter

     $\det(A-\lambda I)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad \det\begin{bmatrix}a-\lambda&1\\ 0&a-\lambda \end{bmatrix}=0\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad (a-\lambda)^2-0\cdot 1=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad (a-\lambda)^2=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad a-\lambda=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad \lambda=a\qquad\checkmark$

A matriz possui apenas um autovalor $\lambda=a,$ com multiplicidade algébrica igual a 2 (dois).

Encontrando os autovetores associados. Devemos resolver a equação:

     $(A-\lambda I)\cdot (x,\,y)=(0,\,0)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \begin{bmatrix}a-\lambda&1\\ 0&a-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0 \end{bmatrix}$

Substituindo acima o valor de $\lambda=a,$ temos

     $\Longleftrightarrow\quad \begin{bmatrix}a-a&1\\ 0&a-a \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0 \end{bmatrix}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \begin{bmatrix}0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0 \end{bmatrix}$

Escrevendo o sistema de equações, temos

     $\left\{\begin{array}{l}0x+1y=0\\ 0x+0y=0 \end{array}\right.$

Resolvendo o sistema, encontramos

     $\Longrightarrow\quad y=0\quad\mathrm{e}\quad x\in\mathbb{R}\\\\ \Longleftrightarrow\quad (x,\, y) =(x,\,0)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (x,\,y)=x\cdot (1,\,0),\quad\mathrm{com~}x\in\mathbb{R}.$

Logo, o único autovetor associado ao autovalor $\lambda=a$ é $v=(1,\,0),$ para todo $a\in\mathbb{R}.$ Sendo assim, não existe valor de $a\in\mathbb{R}$ que torne a matriz de transformação $A$ diagonalizável, pois um único autovetor não forma base para $\mathbb{R}^2,$ cuja dimensão é 2 (dois).

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)