Question

Álgebra Linear

Escrever o vetor w=(10,7,4) como combinação linear dos vetores u₁=(1,0,1), u₂=(1,1,1) e u₃=(0,-1,1)

Answer 1

opa meu jovem blz!!? segue a resolução em anexo, com dicas que podem ser uteis!!! bom estudo!!

Answer 2

Olá


$\displaystyle \vec{w}=(10,7,4)\\\vec{u_1}=(1,0,1)\\\vec{u_2}=(1,1,1)\\\vec{u_3}=(0,-1,1)\\\\\\\text{Se existe combinacao linear, entao ha escalares }\alpha,\beta,\gamma, \text{tais que}\\\\\\\vec{w}=\alpha \vec{u_1}+\beta\vec{u_2}+\gamma\vec{u_3}$


$\displaystyle \mathsf{\underbrace{(\mathsf{10,7,4})}_{w}~=~\alpha\underbrace{(\mathsf{1,0,1})}_{u_1}~+~\beta\underbrace{(\mathsf{1,1,1})}_{u_2}~+~\gamma\underbrace{(\mathsf{0,-1,1})}_{u_3}}$

Aplica a distributiva das incógnitas 

$\displaystyle \mathsf{(10,7,4)~=~(\alpha,0,\alpha)~+~(\beta,\beta,\beta)~+~(0,-\gamma,\gamma)}$


Agora você monta um sistema, pegando as coordenadas de cada vetor, 
Exemplo
(x,y,z) = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)
Fazendo o sistema fica dessa forma
x1 + x2 = x
y1 + y2 = y
z1 + z2 = z

Montando o sistema

$\left\{\begin{array}{lll}\alpha +\beta=10\\\beta -\gamma=7\\\alpha +\beta +\gamma =1\end{array}\right$

Resolve o sistema da maneira que achar melhor...

Irei resolver por triangularização de gauss, mas você pode fazer por escalonamento,
Dica: Por triangularização de gaus você resolve qualquer sistema 3x3, 4x4 em menos de 3 minutos. Vale a pena dar uma estudada

$\left\begin{array}{cccc} \alpha~ ~~~~ ~~ & \beta~ ~~~~ ~~ & \gamma~ ~~~~ ~~ & ~~~~~ ~T.I~ ~~~~ ~~ \\ 1 ~ ~~~~ ~~ & 1~ ~~~~ ~~ & 0~ ~~~~ ~~ & 10 \\ 0~ ~~~~ ~~ & 1~ ~~~~ ~~ &-1 ~ ~~~~ ~~ ~~&~~ ~~~ ~ 7~ ~~~~ ~~ \\\ 1 ~ ~~~~ ~~ & 1~ ~~~~ ~~ & 1 ~ ~~~~ ~~ & 4 \\\\0 ~ ~~~~ ~~ & 1~ ~~~~ ~~ & -1 ~ ~~~~ ~~ & 7\\0 ~ ~~~~ ~~ & 0~ ~~~~ ~~ & 1 ~ ~~~~ ~~ & -6\\0 ~ ~~~~ ~~ & 0~ ~~~~ ~~ & 1 ~ ~~~~ ~~ & -6 \end{array}\right\\\\\\\boxed{\gamma=-6}$

Substitui o valor de gama nas outras equações

$\text{Substituindo na segunda equacao}\\\\\beta-\gamma=7\\\\\beta +6=7\\\\\boxed{\beta=1}\\\\\\\text{Substituindo na primeira equacao}\\\\\alpha+\beta=10\\\\\alpha +1=10\\\\\boxed{\alpha=9}$


Os valores de alfa, beta, e gama que encontramos é a resposta do exercício, então podemos escrever o vetor w como combinação linear, da seguinte forma.

$\boxed{\vec{w}~=~9\cdot \vec{u_1}~+~1\cdot \vec{u_2}~-6\vec{u_3}}$


Vamos comprovar

$\mathsf{(10,7,4)=9\cdot (1,0,1)~+~1\cdot (1,1,1)~-~6\cdot (0,-1,1)}\\\\\mathsf{(10,7,4)=(9,0,9)~+~(1,1,1)-(0,-6,6)}\\\\\mathsf{(10,7,4)=(9+1+0,~0+1-(-6),~9+1-6)}\\\\\boxed{\mathsf{(10,7,4)~=~(10,7,4)}} \qquad \checkmark$


$\boxed{\alpha =9 \qquad \beta=1 \qquad \gamma=-6}$


Só lembrando que, você pode usar a variável que quiser, não precisa ser necessariamente alfa, beta, gama...


Qualquer dúvida deixe nos comentários.