Question

Álgebra Linear
Determine o subespaço do P3 gerado pelo vetores p1 = x³+2x²− x + 3 e
p2 = −2x³ − x² + 3x + 2.

Answer 1

O subespaço W gerado pelos vetores p₁ e p₂ é o conjunto de todas as combinações lineares de p₁ e p₂. Ou seja, é o conjunto:

W = { ap₁ + bp₂ ∈ P[3]| a,b ∈ R}

Notamos que

ap₁ + bp₂ = a(x³+2x²-x+3) + b(-2x³ - x²+3x+2)

ap₁ + bp₂ = (a-2b)x³+ (2a - b)x² + (-a + 3b)x + (3a+2b)

Assim, W é o conjunto de todos os polinômios da forma

(a-2b)x³+ (2a - b)x² + (-a + 3b)x + (3a+2b)

Ou seja

W = {(a-2b)x³+ (2a - b)x² + (-a + 3b)x + (3a+2b) ∈ P[3]| a,b ∈ R}

Resposta:

É o conjunto {(a-2b)x³+ (2a - b)x² + (-a + 3b)x + (3a+2b) ∈ P[3]| a,b ∈ R}