Question

Álgebra Linear

Calcule a base do núcleo e a da imagem da seguinte transformação linear:
T: R²->R², T(x,y)=(x+y, x-y);

Answer 1

Resposta:

núcleo: { }

imagem: {(1,1), (1,-1)}

Explicação passo-a-passo:

Núcleo: Queremos todos os valores (x,y) de forma que T(x,y) = (0,0)

Ou seja, temos que resolver o sistema

x + y = 0

x - y = 0

Mas a única solução desse sistema é x = y = 0.

Portanto Núcleo = ker(T) = {(0,0)} cuja base é o conjunto vazio (por definição)

Imagem: Queremos todos os possíveis valores de T(x,y). Note que

T(x,y) = (x+y,x-y) = x(1,1) + y (1,-1)

Ou seja, a imagem de T são todas as combinações lineares de (1,1) e (1,-1).

Im(T) = { x(1,1) + y (1,-1);  x,y ∈ R} = R²

Uma base para Im(T) portanto é { (1,1), (1,-1) }

Obs.: Como T tem núcleo trivial, segue que T é injetora. Como a dimensão do dominio  e da imagem é 2, concluímos que T é bijeção (pelo teorema do nucleo e da imagem). Disso segue que Im(T) = R² e nem precisariamos fazer nada nesse item, pois uma base de R² é {(1,0), (0,1)}