Question

(Algebra) Determine os autovalores e autovetores da matriz.

A =
2 2
1 5

Answer 1

Os autovalores e os autovetores associados a matriz é:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\lambda_1 &= \frac{\sqrt{17}-3}{2} \quad &v_1 &= \left(\frac{\sqrt{17}-3}{2}, \ 1\right)\\ \\\lambda_2 &= -\frac{\sqrt{17}-3}{2} \quad& v_2 &= \left(-\frac{\sqrt{17}-3}{2}, \ 1\right)\\ \\\end{aligned} }$

Para calcular os autovalores de uma matriz temos que achar as raízes do polinômio característico, se temos a matriz A

                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}A = \left[\begin{array}{c c}2 & 2\\ 1 & 5\\\end{array}\right]\end{gathered}$

O polinômio característico é dado por

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}p_c(\lambda) =\det \left(A-\lambda I\right)\end{gathered}$

Onde I denota a matriz identidade.

Logo o nosso polinômio característico é

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}p_c = \left|\begin{array}{c c}2-\lambda & 2\\ 1 & 5-\lambda\\\end{array}\right|\\ \\\left(2-\lambda \right)\left(5-\lambda\right)-2\\ \\\lambda^2-7\lambda+10-2\\ \\\lambda^2-7\lambda+8\\ \\\end{gathered}$

Utilizando a fórmula para encontrar a raízes de uma quadrática, chegamos que os autovalores são:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\begin{cases}\lambda_1 =\frac{\sqrt{17}+7}{2}\\ \\\lambda_2 =-\frac{\sqrt{17}+7}{2}\end{cases}\end{gathered} }$

Agora, para achar os autovetores, que teremos um associado a cada autovetor, temos que fazer:

                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\ker\left(A-\lambda_n I\right)\end{gathered}$

Lembrando que o kernel (núcleo) é o conjunto de elementos do domínio que são iguais ao vetor nulo da imagem.

Então, o autovetor associado ao primeiro autovalor é

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\ker\left(A-\lambda_1 I\right)\\ \\\left[\begin{array}{c c | c }2-\frac{\sqrt{17}-7}{2} & 2 & 0\\ 1& 5-\frac{\sqrt{17}-7}{2} & 0\\ \end{array}\right]\end{gathered} }$

Agora temos que resolver o sistema acima, temos diversos métodos pra isso, basta usar o de sua preferência. Para o sistema:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\begin{cases}-\frac{\sqrt{17}-3}{2}\alpha + 2\beta = 0 \\ \\\alpha -\frac{\sqrt{17}+3}{2}\beta = 0\end{cases}\end{gathered} }$

Dica: utilize escalonamento.

O resultado obtido deve ser

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\begin{cases}\alpha -\frac{\sqrt{17}-3}{2}\beta = 0\end{cases}\end{gathered} }$

O que implica que

                                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\alpha = \frac{\sqrt{17}-3}{2}\beta \end{gathered} }$

Logo se o nosso autovetor é

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}v_1 = \left(\alpha,\ \beta\right)\\ \\v_1 = \left(\frac{\sqrt{17}-3}{2}\beta,\ \beta\right)\\ \\v_1 = \left(\frac{\sqrt{17}-3}{2},\ 1\right)\\ \\\end{gathered} }$

O autovetor associado ao segundo autovalor é

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\ker\left(A-\lambda_2 I\right)\\ \\\left[\begin{array}{c c | c }2+\frac{\sqrt{17}-7}{2} & 2 & 0\\ 1& 5+\frac{\sqrt{17}-7}{2} & 0\\ \end{array}\right]\end{gathered} }$

Então o sistema a ser resolvido é

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\begin{cases}\frac{\sqrt{17}-3}{2}\alpha + 2\beta = 0 \\ \\\alpha +\frac{\sqrt{17}+3}{2}\beta = 0\end{cases}\end{gathered} }$

Note a semelhança com o primeiro, a solução será praticamente a mesma, então o resultado deve ser

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\begin{cases}\alpha +\frac{\sqrt{17}-3}{2}\beta = 0\end{cases}\end{gathered} }$

Logo

                                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\alpha = - \frac{\sqrt{17}-3}{2}\beta \end{gathered} }$

Portanto o segundo autovetor é

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}v_2 = \left(\alpha,\ \beta\right)\\ \\v_2 = \left(-\frac{\sqrt{17}-3}{2}\beta,\ \beta\right)\\ \\v_2 = \left(-\frac{\sqrt{17}-3}{2},\ 1\right)\\ \\\end{gathered} }$

Espero ter ajudado,

Qualquer dúvida respondo nos comentários

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Autovalores e Autovetores (Matriz 3x3) - brainly.com.br/tarefa/40308453