Question

Aldo e Baldo iniciaram um jogo de adivinhação. Nesse jogo, Aldo usou uma calculadora para multiplicar os números consecutivos 1 x 2 x 3 x ... x k, e entregou a calculadora a Baldo, com o resultado da multiplicação no visor. Baldo, por sua vez, deveria adivinhar o valor de k e, para isso, poderia usar apenas divisões sucessivas por 3. As primeiras 6 divisões por 3 que Baldo fez retornaram números inteiros, e a sétima divisão retornou um número que não era inteiro. O maior valor possível para k é

Answer 1

Veja que 1*2*3*4....*k = k!
Temos que, ao fatorar k!, retorna um número que tem apenas 6 fatores 3 em sua composição.
Observe:
1*2*3 já temos um 3
1*2*3*4*5*6 temos mais um 3 pois 6=2*3, temos então dois 3
1*2*3*4*5*6*7*8*9 temos mais dois 3, pois 9=3*3. Temos então 2+2=quatro 3
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12 temos mais um três, pois 12=2*2*3 4+1=cinco 3
1*2*3*...*12*13*14*15 Temos mais um 3, pois 15=3*5. Logo temos 5+1=seis 3 na composição do número k!

Perceba que estou fazendo isso pois o número que Baldo lê na calculadora, k!, pode ser escrito como 1*2*3... na verdade, este foi exatamente o cálculo para encontrá-lo. Entao, podemos descobrir os possíveis valores de k, já que sabemos que em sua composição temos apenas seis 3, E para isso devemos ter seis 3 multiplicados no produto que o determina. A manhã é entender que multiplicar por 6 é multiplicar por 2 depois por 3. Este é um método comum para resolução de diversos exercícios que envolvem divisão de fatorial, quando pedem coisas como resto fatores primos etc. Continuando.

Veja que em 1*2*3*...*15*16*17*18 teremos mais dois 3, pois 18=2*3*3. Logo, Se k fosse 18, k! teria oito fatores 6. Portanto, o maior valor possível para k é 17. Bons estudos.

Answer 2

O maior valor possível para k é 15.

As alternativas são:

a) 14

b) 15

c) 16

d) 17

e) 18.

Solução

Como a maior alternativa da questão é 18, vamos escrever os números sucessivos de 1 a 18:

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18.

Observe que, desta lista, temos que 3, 6, 9, 12, 15 e 18 são múltiplos de 3.

Além disso, perceba que podemos escrever esses números da seguinte forma:

• 3 = 3.1
• 6 = 3.2
• 9 = 3.3
• 12 = 3.4
• 15 = 3.5
• 18 = 3.6.

Do enunciado, temos a informação de que foram realizadas exatamente 6 divisões sucessivas por 3.

Então, devemos contar a quantidade de 3 que aparece nos múltiplos de 3 listados acima.

Veja que o sexto número 3 corresponde ao número 15.

Portanto, podemos concluir que o maior valor para k é 15.

Alternativa correta: letra b).

Para mais informações sobre múltiplo: https://brainly.com.br/tarefa/258889