Question

AJUDEM_PFV
(Ufpr) Um jogador de futebol chutou uma bola no solo com velocidade inicial de módulo 15,0 m/s e fazendo um ângulo α com a horizontal. O goleiro, situado a 18,0 m da posição inicial da bola, interceptou-a no ar. Calcule a altura em que estava a bola quando foi interceptada. Despreze a resistência do ar e considere g = 10,0 m/s2 , sen α = 0,6 e cos α = 0,8.

Answer 1

vy = vo * cos α ⇒ Em relação a alturas;

vx = vo * sen α ⇒ Em relação a alcances...

 α  → Ângulo entre o vetor da velocidade e a horizontal;
vo → velocidade inicial, que é decomposta em :
vy → velocidade inicial vertical;
vx → velocidade inicial horizontal;

Consideramos o espaço inicial (So) = 0 metros.
A bola sobe até a altura máxima sendo desacelerada na vertical pela gravidade. Na altura máxima, a sua velocidade vertical é anulada, e então a bola começa a a cair sendo acelerada verticalmente pela gravidade.
A velocidade horizontal permanece constante.
 
Existem três tempos a serem considerados aqui, que são :
→ O tempo total (desde o lançamento) em que a bola demora para a bola ir parar nas mãos do goleiro (t1);
→ O tempo de subida da bola : o tempo em que ela demora até chegar à altura máxima (ts);
→ O tempo em que, a partir do momento em que a bola já chegou na altura máxima e começa a cair, ela chega às mãos do goleiro (t2). Este é o tempo desde a queda até a interceptação.

Os tempos para a vertical e para a horizontal são os mesmos !!!

Calculando o t1:

vx = vo * cos α
Sendo ⇒
vo = 15 m/s;
cos α = 0,8...

vx = 15 * 0,8
vx = 12 m/s ⇒ V. inicial horizontal da bola !

Sendo vx constante, temos :

S = v * t, onde ⇒
S → Distância, v → velocidade e t → tempo (consideramos So = 0 m !)

Em relação ao tempo total até chegar ao goleiro, temos :
S = 18 m → Distância horizontal entre o goleiro e a bola;
vx = 12 m/s → Velocidade horizontal;
t = ??? → Este é o t1...

18 = 12 * t1
18 / 12 = t1
t1 = 1,5 segundo ⇒ Tempo total que a bola demora para chegar às mãos do goleiro (tanto em relação à horizontal quanto à vertical).

Calculando o ts:

Sendo vy desacelerada na subida, temos :

vf = vo + a * t, onde :
vf → velocidade final;
a → aceleração;
t → tempo...

Em relação à subida total (até a altura máxima), temos :
vf → vfy (v. final horizontal) = 0 m/s ⇒ A bola é, na vertical, parada pela gravidade na altura máxima;
vo → vy (v. inicial horizontal);
a → -g (na subida, a bola está "contra" a gravidade, ou seja, é desacelerada pela mesma;
t → ts (tempo de subida)...

vy = vo * sen α
Sendo ⇒
vo = 15 m/s;
sen α = 0,6...

vy = 15 * 0,6
vy = 9 m/s ⇒ V. inicial vertical da bola !

vf = vo + a * t
Sendo ⇒
vf → vfy = 0 m/s;
vo → vy = 9 m/s;
a → -g = -10 m/s²;
t → ts = ???...

0 = 9 - 10 * ts
10 * ts = 9
ts = 9 / 10
ts = 0,9 segundos ⇒ Tempo de subida da bola !

Já calculamos a altura máxima (necessária posteriormente)...

H. máx = vy² / (2 * g), onde :
H. máx → Altura máxima;
vy → V. inicial vertical;
g → Ac. gravidade..

H. máx = 9² / (2 * 10)
H. máx = 81/ 20
H. máx = 4,05 metros ⇒ Altura máxima atingida !

Calculando t2 :

Sendo o tempo total até as mãos do goleiro = t1, o tempo de subida = ts e o tempo até as mãos do goleiro a partir da altura máxima = t2, então :

t2 = t1 - ts (pois, do tempo total (t1), parte desse tempo a bola subiu (ts) e parte a bola caiu (t2)...

Sendo ⇒
t1 = 1,5 segundo;
ts = 0,9 segundo;
t2 = ???...

t2 = 1,5 - 0,9
t2 = 0,6 segundo ⇒ Este é o tempo em que, a partir da altura máxima, a bola cai até chegar às mãos do goleiro (o tempo desde a queda até a interceptação) !

Agora, consideramos o movimento de queda :
Como dito, na altura máxima, a bola tem a sua v. vertical zerada pela desacelerada pela gravidade... logo em seguida, ela começa a ser acelerada verticalmente pela própria gravidade.
Ou seja, podemos dizer que a bola sai do repouso verticalmente quando começa a cair, e, na queda, a sua aceleração é g (ac. da gravidade positiva pois agora a bola está "a favor" da gravidade).

Na queda, como a bola saiu do repouso (em relação à v vertical), temos :

S =  a * t² / 2 , onde :
S → Distância percorrida;
a → aceleração (na queda, é g);
t → tempo...
(vy = 0 m/s na queda !!!)

Para acharmos a distância percorrida até a interceptação, temos :

a → g = 10 m/s²;
t → ts = 0,6 segundos (o tempo desde a queda até a interceptação)...
S → Altura da interceptação...

S = 10 * 0,6² / 2
S = 5 * 0,36
S = 1,8 metros ⇒ Distância percorrida até a interceptação da bola !

Por fim, diminuímos esse valor achado da altura máxima para sabermos a altura de interceptação :

4,05 - 1,8 = 2,25 metros ⇒ Altura de interceptação !