Question

Ajude me com as seguintes questoes !!!

Answer 1

3. Provar que $(-1)\overrightarrow{\mathbf{v}}=-\overrightarrow{\mathbf{v}}:$

$(-1)\overrightarrow{\mathbf{v}}\\ \\ =(-1)\overrightarrow{\mathbf{v}}+\overrightarrow{\mathbf{0}}\\ \\ =(-1)\overrightarrow{\mathbf{v}}+[\overrightarrow{\mathbf{v}}+(-\overrightarrow{\mathbf{v}})]\\ \\ =[(-1)\overrightarrow{\mathbf{v}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}]+(-\overrightarrow{\mathbf{v}})\\ \\ =[(-1)+1]\overrightarrow{\mathbf{v}}+(-\overrightarrow{\mathbf{v}})\\ \\ =0\overrightarrow{\mathbf{v}}+(-\overrightarrow{\mathbf{v}})\\ \\ =\overrightarrow{\mathbf{0}}+(-\overrightarrow{\mathbf{v}})\\ \\ =-\overrightarrow{\mathbf{v}}\;\;\;\;\;\blacksquare$


4. Provar que $2\overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}:$

$2\overrightarrow{\mathbf{v}}\\ \\ =(1+1)\overrightarrow{\mathbf{v}}\\ \\ =1\overrightarrow{\mathbf{v}}+1\overrightarrow{\mathbf{v}}\\ \\ =\overrightarrow{\mathbf{v}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}\;\;\;\;\;\blacksquare$


8. Provar que, dado um vetor $\overrightarrow{\mathbf{v}}\neq \overrightarrow{\mathbf{0}},$ então o vetor $\dfrac{\overrightarrow{\mathbf{v}}}{\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|}$ é unitário (isto é, este vetor tem módulo igual a $1$) :


Seja $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(a,\;b)$ um vetor não-nulo do plano $\mathbb{R}^{2}.$


Por hipótese, temos que

$\overrightarrow{\mathbf{v}}\neq \overrightarrow{\mathbf{0}}\\ \\ \Rightarrow\;\;\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|\neq 0\\ \\ \Rightarrow\;\;\sqrt{a^{2}+b^{2}}\neq 0\\ \\ \Rightarrow\;\;\exists\;c \in \mathbb{R}\text{, tal que } c=\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$


Tomemos $c=\dfrac{1}{\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|}=\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$ Calculemos o módulo do vetor $c\overrightarrow{\mathbf{v}}:$

$\|c\overrightarrow{\mathbf{v}}\| \\\\=\|c\cdot (a,\;b)\|\\ \\ =\|(c\cdot a,\;c\cdot b)\|\\ \\ =\sqrt{(c\cdot a)^{2}+(c\cdot b)^{2}}\\ \\ =\sqrt{c^{2}\cdot a^{2}+c^{2}\cdot b^{2}}$


Substituindo $c$ pelo seu valor original na última linha acima, temos

$\|c\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=\sqrt{\left(\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right )^{2}\cdot a^{2}+\left(\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right )^{2}\cdot b^{2}}\\ \\ \\ =\sqrt{\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}\cdot a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}\cdot b^{2}}\\ \\ \\ =\sqrt{\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\dfrac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\ \\ \\ =\sqrt{\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\\ \\ \\ =\sqrt{1}\\ \\ =1$


Portanto,

$\|c\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=1\\ \\ \Rightarrow\;\;c\overrightarrow{\mathbf{v}}\text{ \'{e} vetor unit\'{a}rio\;\;\;\;(mas }c=\dfrac{1}{\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|}\text{)}\\ \\ \\ \Rightarrow\;\;\dfrac{1}{\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|}\overrightarrow{\mathbf{v}}\text{ \'{e} vetor unit\'{a}rio.}\;\;\;\;\;\blacksquare$

Answer 2

Boa noite  Baiano!


Solução! 


(Obs) Solução do 5 exercício. 


Essa demonstração esta relacionada com a definição de paralelismo.



Se dois vetores são paralelos existe um lambda talque u=λv implica que:


$AB//CD\Leftrightarrow \lambda \in\mathbb{R}; \vec u=\lambda\vec v$


$(A,B)=\vec u \ne 0\\\ (C,D)=\vec v \ne 0$



$\vec u=(x_{1},y_{1}) \\\\ \vec v=( x_{2},y_{2})\\\\\\\\ \vec u=\lambda \vec v$



$\dfrac{x_{1} }{y_{1} }= \dfrac{x_{2} }{y_{2} }=\lambda$



Logo pelo exposto acima: para que os vetores sejam paralelos tem que serem proporcionais,essa proporcionalidade é representada por lambda que é um número real.


Boa noite!
Bons estudos!