Question

Ajude a resolver este execicio.
Determine x ∈ [0,2π] tal que cosx/cos2x≤1

Answer 1

Lembrando: Cos(a + b) = cos²a - sen²b
então Cos (a + a) ⇒ Cos 2a = cos²a - sen²a
Observando proposta da questão: cosx / cos2x ≤ 1  
cos x / [cos²x - sen²x] ≤ 1 ⇒  √(1 - sen²x ) / [cos²x - sen²x] ≤ 1  
√(1 - sen²x) / [1 - sen²x - sen²x] ≤  1   
√(1 - sen²x) / [1 - 2sen²x] ≤ 1  
Seja sen²x = M
√(1 - M) / ( 1 - 2M) ≤ 1
√(1 -M) ≤ 1 - 2M
1 - M ≤  1 - 4M + 4M²
4M² - 3M ≥ 0
M(4M - 3) ≥ 0
                                       0                    3/4
   M                  - - - - - - - ↓+++++++++++↓+++++++++++
 4M - 3            - - - - - - --↓ - - - - - - - - - -↓ -+++++++++
********            ++++++++ ↓- - - - - - - - - - ↓++++++++++
 Observando conjunto solução  V  = { M ∈ R / M ≤ 0  ∨ M ≥ 3/4}
verificaremos para sen²x = M atentando para a imposição x ∈ [0  2π]
sen²x ≤ 0 ⇒  senx ≤ 0 ⇒           π   ≤   x  ≤  2π
sen²x ≥ 3/4⇒ senx ≥ √3/2 ⇒  π/3   ≤   x  ≤  2π/3
V ={  x  ∈  [0  2π]  /    π  ≤  x  ≤  2π  ∨  π/3  ≤  x ≤  2π/3}