Question

AJUDA URGENTE!!
(UFPI) Um engenheiro, utilizando seus conhecimentos em trigonometria para calcular a distância entre um ponto A e um ponto P considerado inacessível, procedeu da seguinte forma: mediu a distância do ponto A até um ponto acessível B, além dos ângulos BÂP e A^BP, encontrando 800m, 60° e 75º, respectivamente. Nessas condições, se supusermos que raiz de 3 é aprox. 1,73, a distância entre os pontos A e P vale, aproximadamente: (Por favor, apresente os cálculos)


a) 1 120 m b) 1 092 m c) 920 m d) 850 m e) 720 m

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre lei dos senos.

Dado um triângulo de lados $a,~b$ e $p$, em que os ângulos opostos aos lados são, respectivamente, $\^{A},~\^{B}$ e $\^{P}$.

Considere o triângulo $\triangle{ABP}$. A distância entre os vértices $A$ e $B$ determina o lado o lado $p$, a distância entre os vértices $A$ e $P$ determina o lado $b$ e, por fim, a distância entre os vértices $B$ e $P$ determina o lado $a$.

Assim, de acordo com a Lei dos senos:

$\dfrac{a}{\sin(\^A)}=\dfrac{b}{\sin(\^B)}=\dfrac{p}{\sin(\^P)}$.

Então, de acordo com os dados do enunciado, busca-se a distância entre os vértices $A$ e $P$, sabendo-se que a distância entre os lados $A$ e $B$ é igual a $800~m$ e a medida dos ângulos $B\^AP$ e $A\^BP$ são, respectivamente, $60^{\circ}$ e $75^{\circ}$.

Lembre-se que estes são os ângulos que encontram-se nos vértices $A$ e $B$.

Dessa forma, devemos determinar a medida do ângulo que encontra-se no vértice $P$:

$B\^AP+A\^BP+A\^PB = 180º\\\\\\ 60^{\circ} + 75^{\circ} + A\^PB=180^{\circ}\\\\\\ 135^{\circ} + A\^PB=180^{\circ}$

Subtraia $135^{\circ}$ em ambos os lados da equação

$A\^PB=180^{\circ}-135^{\circ}\\\\\\ A\^PB=45^{\circ}$

Finalmente, substituímos os dados cedidos pelo enunciado na lei dos senos:

$\dfrac{\overline{AB}}{\sin(A\^PB)}=\dfrac{\overline{AP}}{\sin(A\^BP)}\\\\\\ \dfrac{800}{\sin(45^{\circ})}=\dfrac{\overline{AP}}{\sin(75^{\circ})}$

Lembre-se que $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha)$. Assim, reescrevemos $\sin(75^{\circ})=\sin(30^{\circ})\cos(45^{\circ})+\sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ})$:

$\dfrac{800}{\sin(45^{\circ})}=\dfrac{\overline{AP}}{\sin(30^{\circ})\cos(45^{\circ})+\sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ})}$

Sabendo que $\sin(45^{\circ})=\cos(45^{\circ})=\dfrac{\sqrt{2}}{2},~\sin(30^{\circ})=\dfrac{1}{2}$ e $\cos(30^{\circ})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, temos:

$\dfrac{800}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{\overline{AP}}{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

Multiplique ambos os lados da equação por um fator $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$800=\dfrac{\overline{AP}}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ 800=\dfrac{\overline{AP}}{\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}}$

Multiplique ambos os lados da equação por um fator $\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$

$400\cdot(1+\sqrt{3})=\overline{AP}$

Utilizando a aproximação $\sqrt{3}\approx1,73$, temos:

$\overline{AP}\approx400\cdot(1+1,73)\\\\\\ \overline{AP}\approx400\cdot2,73$

Multiplique os valores

$\overline{AP}\approx1092~m$

Esta é a medida da distância entre os vértices $A$ e $P$ que buscávamos e é a resposta contida na letra b).

Answer 2

Resposta:

Alternativa correta b) 1 092