Question

No intervalo {x e R / 0 ≤ x ≤ 2pi }, a equação cos²x = 1/2|cosx| tem seis raízes

Por que é verdadeiro?

Answer 1

Resposta:

$S=\left\{\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right\}.$

Explicação passo-a-passo:

Olá!

       Lembre da definição de módulo de um número real x, como a seguir:

$|x|=\bigg{\{}\begin{array}{rcr}x,&\text{se }&x\geqslant 0\\ -x,&\text{se }&x<0 \end{array}.$

Logo,

se tivermos   $\cos{x}\geqslant{0},$  ou seja,  $x\in\left[\frac{3\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}\right],$   então

                      $|\cos{x}|=\cos{x}.$

Já se ocorrer   $x\in\left]\frac{\pi}{2},\;\frac{3\pi}{2}\right[{\;},$   então

                      $|cos{x}|=-\cos{x}.$

     Com isso em mente, segue que

• Caso 1:   $\cos{x}\geqslant{0}$

$\cos^2x=\dfrac{1}{2}\cos{x}\Leftrightarrow \cos^2x-\dfrac{1}{2}\cos{x}=0\Leftrightarrow \cos{x}\left(\cos{x}-\dfrac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow \\ \\ \\\Leftrightarrow \cos{x}=0\;\text{ou}\;\cos{x}-\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow \cos{x}=0\;\text{ou}\;\cos{x}=\dfrac{1}{2}.\\ \\\text{Como x\in\left[\frac{3\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}\right] , ent\~ao}\\ \\x=\dfrac{3\pi}{2}\;\text{ou}\;x=\dfrac{\pi}{2}\;\text{(para que se tenha \cos{x}=0 ) ou ainda }$

$x=\dfrac{\pi}{3}\;\text{ou}\;x=\dfrac{5\pi}{3}\;\text{ \left(\text{para que se tenha \cos{x}=\frac{1}{2} }\right) }.$

   Então até aqui já temos 4 soluções. Vejamos o segundo caso:

• Caso 2: $\cos{x}<0$

$\cos^2x=\dfrac{1}{2}\cdot(-\cos{x})\Leftrightarrow\cos^2x+\dfrac{1}{2}\cos{x}=0\Leftrightarrow \cos{x}\left(\cos{x}+\dfrac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow\\ \\ \\\Leftrightarrow \cos{x}=0\;\text{ou}\;\cos{x}=-\dfrac{1}{2}.\\ \\\text{Note que agora temos \cos{x}<0\Leftrightarrow x\in\left]\frac{\pi}{2},\;\frac{3\pi}{2}\right[ . Ou seja, n\~ao ocorre}\\ \text{o caso \cos{x}=0 . Logo, teremos que }\\ \\\cos{x}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pi}{3}\;\text{ou}\;x=\dfrac{4\pi}{3}.$

   E, assim, temos as 6 soluções. Pode-se dizer que o conjunto S das soluções desta equação é, portanto,

$S=\left\{\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right\},$

no intervalo   $[0,\;2\pi].$

Bons estudos!