Question

Ajuda urgente. Resolva a equação: (n+3)! / (n+1)! = 20

Answer 1

Usando as propriedades de fatorial de um número, bem como a Fórmula

de Bhaskara, obtém-se S = { - 7 ; 2 }

(n+3)! / (n+1)! = 20

Estamos a lidar com fatorial de um número.

$\dfrac{(n+3)!}{(n+1)!} = 20$

$\dfrac{(n+3)*(n+3-1)*(n+3-2)!}{(n+1)!} = 20$  

$\dfrac{(n+3)*(n+2)*(n+1)!}{(n+1)!} = 20$      

Como temos só multiplicações no numerador e no denominador,

podemos cancelar fatores iguais.

$\dfrac{(n+3)*(n+2)}{1}= 20$

( n + 3 ) * ( n + 2 ) = 20

Usando a propriedade distributiva da multiplicação em

relação à adição algébrica ( " regra do chuveirinho “ )

n * n + n * 2 + 3 * n + 3 * 2 = 20

n² + 2n + 3n + 6 - 20 = 0

n² + 5n + 6 - 20 = 0

n² + 5n - 14 = 0

Fórmula de Bhaskara

n = (- b ± √Δ) /2a       com Δ = b² - 4*a*c      e      a ≠ 0

n² + 5n - 14 = 0

a = 1

b = 5

c = 14

Δ = 5² - 4 * 1 * ( - 14 ) = 25 - 4 * ( - 14 ) = 25 + 56 = 81

√Δ = √81 = 9

n1 = ( - 5 + 9 ) / ( 2 * 1 )

n1 = 4/2

n1 = 2

n2 =  ( - 5 - 9 ) / ( 2 * 1 )

n2 =  - 14 / 2

n2 = - 7

S = { - 7 ; 2 }

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Observação 1 → Fatorial de um número

É o produto desse número por todos os seus antecessores até ao 1, incluído.

Exemplo:

7 ! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Observação 2 → Simplificação de uma fração com fatoriais

Podemos, no desenvolvimento de o fatorial de um número expressão,

parar num certo ponto , o que seja adequado para simplificar a fração.

Exemplos :

$\dfrac{7!}{4!} =\dfrac{7*6*5*4!}{4!}=7*6*5$    cancelou-se o fatorial comum

$\dfrac{(n+3)!}{(n+1)!} =\dfrac{(n+3)*(n+3-1)+(n+3-2)!}{(n+1)!}=\dfrac{(n+3)*(n+2)*(n+1)!}{(n+1)!}$

$=\dfrac{(n+3)*(n+2)}{1} =(n+3)*(n+2)$

cancelou-se o fatorial comum , ( n + 1 )!

Observação 3 → Casos particulares de fatoriais

1 ! = 1

0! = 1

Observação 4 → Qual o sinal de fatorial ?

É o ponto de exclamação ( ! ) .

Observação 5 → Que números têm fatorial?

Os números naturais.

Bons estudos.

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( * ) multiplicação      ( / ) divisão      ( ≠ )  diferente de      ( ! ) fatorial de

( n1 ; n2 ) nomes de raízes de uma equação do 2º grau

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.