Question

Ajuda, por favor, pra minha amiga.
Resolver a equação x³ - 2ix² - (5 + 2i)x - 2 + 4i = 0, sabendo que ela admite uma raiz real.

Answer 1

Seja k a raiz real
    1          -2i              -(5+2i)                    -2 + 4i
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k | 1        k-2i           k²-2ki-5-2i     |      k³-2k²i-5k-2ki-2+4i
Sendo k raiz, então o resto k³-2k²i-5k-2ki-2+4i = 0
(-2k²-2k+4)i +k³-5k-2 = 0

Para que um complexo seja nulo, a parte imaginária e a parte real devem ser nulos. Logo:
-2k² - 2k + 4 = 0 => k² + k - 2 = 0 (I) e k³ - 5k - 2 = 0 (II)
Resolvendo (I)
Δ = 1-4.1(-2) = 9
k = (-1-3)/2 = -2 ou k = (-1+3)/2 = 1
Subst. 1 e -2 em (II)
1³-5.1-2 = 0 1 -5 -2 = 0 => -6 = 0 (F), -1 não serve
(-2)³ - 5(-2) -2 = 0 => -8 + 10 - 2 = 0 => 0 = 0 , -2 é a raiz real.
Para achar as demais raízes devemos resolver a equação de grau 2
x² +(k-2i)x + k² -2ki-5-2i = 0
x² +(-2-2i)x + 4 + 4i - 5 - 2i = 0
x² + (-2-2i)x - 1+ 2i = 0
Δ = (-2-2i)² - 4(-1+2i)
Δ = 4+8i+4i²+4-8i
 Δ = 4+8i-4+4-8i
Δ = 4
x = [-(-2-2i)-2]/2 => x = (2+2i-2)/2 => x = i ou
x = [-(-2-2i)+2]/2 => x = (2+2i+2)/2 => x = (4+2i)/2 = 2 + i
S = {-2, i, 2 + i}