Question

2. A proporção de carbono 14 (radioativo) em relação ao carbono 12 presente nos seres vivos é constante. Quando um organismo morre a absorção de carbono 14 cessa e a partir de então o carbono 14 vai se transformando em carbono 12 a uma taxa que é proporcional a quantidade presente.
Em um pedaço de madeira é encontrado 1/500 da quantidade original de carbono
Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 é de 5600 anos, ou seja, que em 5600 anos metade do carbono 14 presente transformou-se em carbono 12.
a) Determine a idade deste pedaço de madeira.(1pto)
b)sabendo-se que passados 11200 anos,a quantidade de carbono 14 presente neste pedaço de madeira é de 10^-6mg,calcule a quantidade inicial deste elemento,utilize ln2=0,7 se necessario.

Answer 1

sea x la cantidad de C14 en un tiempo t. 
1) Por dato
                                $\dfrac{dx}{dt}=\lambda x$
Resolvamos

                 $\dfrac{dx}{x}=\lambda dt\\ \\ \ln x=\lambda t+C\\ \\ \boxed{x=Ke^{\lambda t}}$

2) 
La vida media de C14 es t = 5600
                 
            $x(5600)=\dfrac{x(0)}{2}\\ \\ Ke^{5600\lambda }=\dfrac{K}{2}\\ \\ 5600 \lambda = -\ln 2\\ \\ 5600 \lambda=-0.7\\ \\ \boxed{\lambda =-\dfrac{1}{8000}}$

Así tenemos
                                $x=Ke^{-t/8000}$

3) (a)

          $\dfrac{x(t)}{x(0)}=\dfrac{1}{500}\\ \\ \dfrac{Ke^{-t/8000}}{K}=\dfrac{1}{500}\\ \\ e^{-t/8000}=\dfrac{1}{500}\\ \\ -t/8000=-\ln 500\\ \\ t=8000\ln 500\\ \\ t\approx 49716.86\text{ a\~nos} \\.$

4) (b)

          $x(t)=Ke^{-t/8000}\\ \\ x(11200)=10^{-6}\\ \\ Ke^{-11200/8000}=10^{-6}\\ \\ \boxed{K\approx 4.06\times 10^{-6}}\\ \\ \\ x(t)\approx(4.06\times 10^{-6})e^{-t/8000}\\ \\ \boxed{\boxed{x(0)\approx4.06\times 10^{-6}\text{ mg}}}$