Question

Ajuda numa pergunta envolvendo derivada de função num ponto. Obrigada.

f (x) = log (3) 2^x, esse 3 ( entre parênteses) é a base do sistema de logaritmo.
f ’(x) = ln2/ln3
A taxa de variação em cada ponto da curva é f ’(x) = ln2/ln3.

Para x=2, f ‘ (x) = log (3) 2²
Para x=3, f ‘ (x) = log (3) 2³
Fazendo a diferença percebe-se claramente que a taxa de variação fica igual a derivada que encontrei acima(f ’(x) = ln2/ln3), pois é isso que caracteriza a derivada.

log (3) 2³ - log (3) 2²= 3log (3) 2 - 2log (3) 2= log (3) 2=ln2/ln3.

A pergunta é: A derivada de y = senx é y ‘ = cosx. Nesse caso, como faço essa constatação do incremento como fiz acima?

Answer 1

Tomemos a seguinte função

$y(x)=\mathrm{sen\,}x$


O domínio desta função é todo o $\mathbb{R},$ e ela é diferenciável em todo o seu domínio. Em cada ponto do domínio, o valor da derivada é

$y'(x)=\cos x$


Veja que neste caso, o valor da derivada depende do ponto em que se calcula.

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Exemplo:

Tomemos um ponto $x_{1}$ qualquer do domínio, por exemplo

$x_{1}=0$


Suponhamos que queiramos estimar o valor do seno em $x_{2}=1.$


Sabemos que

$\Delta y\approx y'(x^{*})\cdot \Delta x\\ \\y(x_{2})-y(x_{1})\approx y'(x^{*})\cdot (x_{2}-x_{1})\\ \\ \mathrm{sen\,}1-\mathrm{sen\,}0\approx \cos (x^{*})\cdot (1-0)\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$

com $0\leq x^{*}\leq 1.$


$\bullet\;\;$ E agora, qual $x^{*}$ escolhemos?

Ora, escolhemos o $x^{*}$ de forma que saibamos calcular $y'(x^{*}):$


Tomemos $x^{*}=x_{1}=0.$ Substituindo em $\mathbf{(i)},$ temos

$\mathrm{sen\,}1-\mathrm{sen\,}0\approx \cos (0)\cdot (1-0)\\ \\ \mathrm{sen\,}1-0\approx 1\cdot (1-0)\\ \\ \mathrm{sen\,}1-0\approx 1\cdot (1-0)\\ \\ \mathrm{sen\,}1\approx 1$


$\bullet\;\;$ Obtivemos uma aproximação para o seno de $1.$ Porém, o problema está em estimar qual o erro que está sendo cometido por esta aproximação.

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Obs.: O valor real do seno de $1$ é

$\mathrm{sen\,}1=0,84147\ldots$

mas quão boa é a aproximação obtida no exemplo dado, comparado ao valor real do seno de $1?$