Question

Ajuda na resolução desses limites, por favor. Não pode usar a regra de derivada. Agradecida.

lim |x| / √3 .x
x=> 0 (pela esquerda)

lim √x(x-1) (x-2) (tudo dentro da raiz)
x => 1 (pela direita)

lim √x /x
x=> 0 (pela direita)

Answer 1

1)
$\dfrac{|x|}{\sqrt{3}x}=\begin{cases} -\dfrac{1}{\sqrt{3}}&,x\ \textless \ 0\\ \dfrac{1}{\sqrt{3}}&,x\ \textgreater \ 0\ \end{cases}$

entonces 
$\boxed{\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{|x|}{\sqrt{3}x}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$

2) la función$\sqrt{x(x-1)(x-2)}$ está definida para:
$x(x-1)(x-2)\geq 0 \iff x\in[0,1]\cup [2,+\infty)$

no está definida para $x\in (1,2)$ por lo tanto el LÍMITE NAO EXISTE

3)$\forall x \in[0,1]: \sqrt{x}\geq x \Longrightarrow \forall x \in(0,1]: \dfrac{\sqrt x}{x}\geq 1$

veamos que sucede con las funciones $f(x)=\sqrt{x}$ e $g(x)=mx$

Abscisa del punto de intersección
                     $\sqrt{x}=mx\to x=0\vee x=\dfrac{1}{m^2}$

consideremos a $m\ \textgreater \ 0$ entonces

$\forall m\ \textgreater \ 0 ,\forall x\in \left[0, \dfrac{1}{m^2}\right] : \sqrt{x}\geq mx \\ \\ \forall m\ \textgreater \ 0 ,\forall x\in \left(0, \dfrac{1}{m^2}\right] : \dfrac{\sqrt{x}}{x}\geq m \\ \\ \\ \forall m\ \textgreater \ 0 , \exists \delta\ \textgreater \ 0 :0\ \textless \ x\ \textless \ \delta \Longrightarrow \dfrac{\sqrt{x}}{x}\geq m$

donde $\delta =\dfrac{1}{m^2}$ lo que es un indicio que

                $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\sqrt{x}}{x}=+\infty$