Question

AJUDA-GEOMETRIA URGENTE

1-Dados os pontos A (2, 3) e B (4, –1), responda as perguntas a seguir.
a) Qual é a equação da reta paralela a AB que passa pelo ponto (–1, 3)?
b) Qual é a distância do ponto P(–2, 2) até a reta obtida no item a?

2-Em relação à circunferência de equação

x² + y² – 6x + 4y + 12 = 0, responda as perguntas a seguir.

a) Qual é o valor de k, sabendo que o ponto P(4, k) pertence à circunferência?
b) Qual é a posição relativa da reta 5x – 12y – 26 = 0 em relação à circunferência?

Answer 1

Relembrando alguns pontos de Geometria analítica .

1º Equação da reta :

$\text y-\text y_o=\text m(\text x-\text x_o)$

onde :

$\text x_o \ , \ \text y_o =$ coordenadas por onde a reta passa

$\displaystyle \text m=\text{coef. angular } \to \text m = \frac{\text y_2-\text y_1}{\text x_2-\text x_1}$

2º Retas paralelas :

Sendo duas retas paralelas entre si de coeficientes angulares $\text m_1 \ \text e \ \text m_2$, temos a relação :

$\text m_1 =\text m_2$

3º Distância do ponto a reta :

Tendo um reta qualquer a.x + b.y + c e ponto qualquer ($\text x_o,\text y_o$), temos que a distância do ponto a reta será dada por :

$\displaystyle \text D = \frac{|\text a.\text x_o+\text b.\text y_o+\text c| }{\sqrt{\text a^2+\text b^2}}$

4º Equação Reduzida da circunferência :

$(\text x-\text x_\text c)^2+(\text y-\text y_\text c)^2= \text R^2$

Qualquer ponto que pertence à circunferência ao ser substituído na equação terá que ser igual ao raio ao quadrado.

1 )

item a)

Achando a equação da reta AB que passa pelos pontos A (2,3) e B(4, -1) :

$\displaystyle \text m = \frac{-1-3}{4-2}\to \text m = \frac{-4}{2} \to \text m = -2$

Equação da reta passando por um dos pontos :

$\text{AB}: \text y - 3 = -2(\text x-2)$

$\text{AB}: \text y = -2\text x +7$

Equação da reta paralela passando por (-1,3):  

$\text y - 3 = -2(\text x-(-1))$

$\text y -3=-2\text x - 2$

Reta paralela :

$\huge\text{Reta Paralela}: \boxed{{2\text x + \text y - 1 }}$

item b)

A distância do ponto P(-2,2) até a reta paralela obtida acima :

Temos a reta : 2x + y - 1

coeficientes : a = 2 , b = 1 , c = -1

Aplicando distância do ponto a reta :

$\displaystyle \text D = \frac{|\text a.\text x_o+\text b.\text y_o+\text c |}{\sqrt{\text a^2+\text b^2}}$

$\displaystyle \text D = \frac{|2.(-2)+1.(2)-1| }{\sqrt{2^2+1^2}}$

$\displaystyle \text D = \frac{|-4+2-1| }{\sqrt{5}}$

$\displaystyle \text D = \frac{|-3| }{\sqrt{5}}$

$\displaystyle \text D = \frac{3 }{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt5}{\sqrt5}$

$\huge\boxed{\displaystyle \text D = \frac{3\sqrt5}{5}}\checkmark$

2)

Temos a circunferência :

$\text x^2+\text y^2-6\text x+4\text y+12=0$

colocando na forma reduzida. Vou completar quadrados :  

$\text x^2 -6\text x + 9 + \text y^2 + 4\text y + 4 + 12 = 9 +4$

$(\text x-3)^2+(\text y+2)^2 = 13-12$

$(\text x-3)^2+(\text y+2)^2 = 1$

$\text{Centro : ( 3 , - 2 )} \ ; \ \text{Raio = 1 }$

item a)

P(4,k) O valor de K para que o ponto P pertença à circunferência. Vamos substituir o ponto na equação da circunferência :

$(\text 4-3)^2+(\text k+2)^2 = 1$

$(\text k +2)^2 = 1-1$

$(\text k +2)^2 = 0 \to (\text k+2) = 0$

$\huge\boxed{\text k = -2}\checkmark$

item b)

Posição relativa da reta 5x-12y -26 = 0 à circunferência.

Vamos fazer a distância do Centro da circunferência até a reta e analisar os seguintes casos :

D = R  ( Reta tangente à circunferência )

D > R  ( Reta é externa à circunferência )

D < R  ( Reta é secante à circunferência )

Fazendo distância do centro  até a reta:

Reta : 5x-12y-26

Coeficientes : a = 5 , b = -12 , c = -26

Centro da circunferência : ( 3 , - 2)

Aplicando a distância do ponto a reta :

$\displaystyle \text D = \frac{|\text a.\text x+\text b.\text y+\text c|}{\sqrt{\text a^2+\text b^2}}$

$\displaystyle \text D = \frac{|5.3-12.(-2)-26|}{\sqrt{5^2+(-12)^2}}$

$\displaystyle \text D = \frac{|15+24-26|}{\sqrt{25+144}}$

$\displaystyle \text D = \frac{|13|}{\sqrt{169}}$

$\displaystyle \text D = \frac{13}{13}$

$\boxed{\displaystyle \text D = 1}$

Distância deu igual ao raio, logo

R : A reta 5x-12y-26 é Tangente à circunferência