Question

Ajuda galera, porfavor.

Resolva os sistemas de inequações

1- $\left \{ {{- 3x + 5 \leq 0} \atop {2x - 5 < x}} \right.$

2- $4x \leq - 4x + 8 \leq 4x + 12$

Answer 1

1)
$\left\{ \begin{array}{rcl} -3x+5&<&0\\ 2x-5&<&x \end{array} \right.$

Devemos resolver cada desigualdade separadamente, e depois combinar as soluções, fazendo a interseção das soluções de cada uma:

$\bullet\;\;-3x+5<0\\ \\ 3x>5\\ \\ x>\dfrac{5}{3}\\ \\ \\ \bullet\;\;2x-5<x\\ \\ 2x-x<-5\\ \\ x<-5$


Combinando as duas soluções, temos a solução do sistema:

Como é impossível que 

$x>\dfrac{5}{3}\;\;\;\text{ e }\;\;\;x<-5$

Então o sistema não tem solução, ou a solução é o conjunto vazio:

$S=\varnothing$



2) $4x\leq -4x+8 \leq 4x+12$

Temos uma dupla desigualdade. Assim, podemos interpretar como duas desigualdades separadamente, e depois combinar as soluções (similar à primeira questão):

$4x\leq -4x+8\;\;\;\text{ e }\;\;\;-4x+8 \leq 4x+12\\ \\ \left\{ \begin{array}{rcl} 4x&\leq&-4x+8\\ -4x+8&\leq&4x+12 \end{array} \right.\\ \\ \\ \bullet\;\;4x \leq -4x+8\\ \\ 4x+4x \leq 8\\ \\ 8x \leq 8\\ \\ x \leq \dfrac{8}{8}\\ \\ x \leq 1\\ \\ \\ \bullet\;\;-4x+8 \leq 4x+12\\ \\ 8-12 \leq 4x+4x\\ \\ 8x \geq -4\\ \\ x \geq \dfrac{-4}{8}\\ \\ x \geq -\dfrac{1}{2}$


Combinando as duas soluções, temos a solução da dupla desigualdade:

$\boxed{-\dfrac{1}{2}\leq x \leq 1}$


O conjunto solução é o intervalo

$S=\left[\;-\dfrac{1}{2},\,1\; \right ]$