Question

Ajuda! Fatore essa função

Answer 1

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$\rm\large\green{\boxed{~~~\orange{f(x)}~\pink{=}~\blue{ x - 1 }~~~}}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá, Luana, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗

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☔ Acompanhe a resolução abaixo, feita através de algumas manipulações algébricas, e após o resultado você encontrará um resumo sobre fatoração de polinômios que talvez te ajude com exercícios semelhantes no futuro. ✌

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ f(x) = \dfrac{x^3 + 3x^2 - x - 3}{x^2 + 4x + 3} }}}$

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➡ $\sf\large\blue{ f(x) = \dfrac{x^3 - x  + 3x^2 - 3}{x^2 + (3 + 1)x + 3} }$

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➡ $\sf\large\blue{  f(x) = \dfrac{x \cdot (x^2 - 1) + 3 \cdot (x^2 - 1)}{x^2 + 3x + x + 3} }$

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➡ $\sf\large\blue{  f(x) = \dfrac{(x + 3) \cdot (x^2 - 1)}{x^2 + x + 3x + 3} }$

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➡ $\sf\large\blue{  f(x) = \dfrac{(x + 3) \cdot (x^2 - 1)}{x \cdot (x + 1) + 3 \cdot (x + 1)} }$

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➡ $\sf\large\blue{  f(x) = \dfrac{(x + 3) \cdot (x^2 - 1)}{(x + 3) \cdot (x + 1)} }$

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➡ $\sf\large\blue{  f(x) = \dfrac{(x^2 - 1)}{(x + 1} }$

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➡ $\sf\large\blue{  f(x) = \dfrac{(x + 1) \cdot (x - 1)}{(x + 1} }$

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➡ $\sf\large\blue{  f(x) = x - 1 }$

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$\rm\large\green{\boxed{~~~\orange{f(x)}~\pink{=}~\blue{ x - 1 }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

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☔Uma forma de manipularmos algebricamente uma equação é através de sua fatoração. Este processo pode ocorrer de 5 formas:

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I) Fator comum.

Temos que nesta manipulação algébrica identificamos somente um fator em comum entre todos os termos e portanto colocamos ele em evidência:

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\orange{\begin{array}{ll}&&\\axy^2 + zb^3x - 6x\\\\\\ = x(ay^2 + zb^3 - 6)&\\&\\\end{array}}}}}}$

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✏ Dica: observe se todos os termos tem alguma constante, variável ou expressão em comum.

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II) Agrupamento.

Ao realizarmos o processo do fator comum podemos identificar outra simetria importante:

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\orange{\begin{array}{ll}&\\5xy + 5 + zxy + z\\\\\\ = 5(xy + 1) + z(xy + 1)\\\\= (xy + 1)(5+z)&\\&\\\end{array}}}}}}$

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✏ Dica: Ao realizar o fator comum observe se os termos dentro dos parênteses são iguais)

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III) Produto da diferença de dois quadrados.

Lembrando de produtos notáveis este processo ocorre de maneira inversa ao produto da soma pela diferença de dois termos:

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\orange{\begin{array}{ll}&\\(ax)^2-(by)^2\\\\\ = a^2x^2 - b^2y^2\\\\=  a^2x^2 - axby + byax - b^2y^2\\\\= (ax + by)(ax - by)&\\&\\\end{array}}}}}}$

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✏ Dica: observe se ambos os termos da subtração são potências de dois.

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IV) Trinômio quadrado perfeito.

Lembrando de produtos notáveis este processo ocorre de maneira inversa ao quadrado da soma de dois termos:

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\orange{\begin{array}{ll}&\\a^2x^2 + 2axby +  b^2y^2\\\\\\ =  a^2x^2 + axby + byax + b^2y^2\\\\=(ax+by)^2&\\&\\\end{array}}}}}}$

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✏ Dica: Observe se um dos termos equivale ao dobro do produto da raiz dos outros dois termos.  

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O Trinômio quadrado perfeito também funciona como um processo inverso dos produtos notáveis para o quadrado da diferença de dois termos:

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\orange{\begin{array}{ll}&\\a^2x^2 - 2axby +  b^2y^2\\\\\\ =  a^2x^2 - axby - byax + b^2y^2\\\\=(ax-by)^2&\\&\\\end{array}}}}}}$

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✏ Dica: Observe se um dos termos equivale ao dobro do produto da raiz dos outros dois termos multiplicado por (-1).

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V) Trinômio soma e produto.

Nesta forma de fatoração separamos uma equação de segundo grau de coeficiente angular igual a 1 numa multiplicação de polinômios:

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\orange{\begin{array}{ll}&\\ax^2 + bx + c\\\\\\= x^2 + (s+p)x + sp\\\\=x^2 + sx + px + sp\\\\=s(x+p) \cdot x(x+p)\\\\=(x+s)(x+p)&\\&\\\end{array}}}}}}$

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✏ Dica: observe se b pode ser escrito na forma de s+p e se c pode ser escrito na forma de s*p.

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\large\textit{"Absque~sudore~et~labore}$

$\large\textit{nullum~opus~perfectum~est."}$