Question

Ajuda! Equação Irracional.

Um numero real x é tal que √x + √2x - 3 = 3. Determine o valor de x.

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Answer 1

$\sqrt{x+\sqrt{2x-3}}=3$


Elevando os dois lados ao quadrado, devemos ter

$x+\sqrt{2x-3}=9\\\\ \sqrt{2x-3}=9-x~~~~~~~\mathbf{(i)}$


Elevando novamente os dois lados ao quadrado, temos

$(\sqrt{2x-3})^2=(9-x)^2\\\\ 2x-3=81-18x+x^2\\\\ 0=81-18x+x^2-2x+3 \\\\ 0=x^2-18x-2x+81+3\\\\ 0=x^2-20x+84\\\\x^2-20x+84=0$


A equação acima é uma equação do 2º grau em $x,$ e pode ser resolvida pela fórmula de Báscara. Mas aqui, vou resolver via fatoração por agrupamento (que obviamente, fornece as mesmas soluções)

$x^2-20x+84=0\\\\ x^2-14x-6x+84=0\\\\ x\,(x-14)-6\,(x-14)=0\\\\ (x-14)\,(x-6)=0$


As raízes são

$x_1=14~~\text{ e }~~x_2=6.$

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ATENÇÃO: Quando resolve-se equações irracionais, devemos testar as soluções encontradas, pois ao elevar os dois lados ao quadrado, desprezamos o sinal dos membros da equação.

$\bullet~~$ Testando $x_1=14:$

$\sqrt{14+\sqrt{2\cdot 14-3}}\\\\ =\sqrt{14+\sqrt{28-3}}\\\\ =\sqrt{14+\sqrt{25}}\\\\ =\sqrt{14+5}\\\\ =\sqrt{19}\ne 3~~~~(\diagup\!\!\!\!\!\diagdown)$

$x_1=14$ não é solução da equação irracional.


$\bullet~~$ Testando $x_2=6:$

$\sqrt{6+\sqrt{2\cdot 6-3}}\\\\ =\sqrt{6+\sqrt{12-3}}\\\\ =\sqrt{6+\sqrt{9}}\\\\ =\sqrt{6+3}\\\\ =\sqrt{9}=3~~~~(\checkmark)$

$x_2=6$ é solução da equação irracional.

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O conjunto solução da equação irracional dada inicialmente é

$S=\{6\}.$