Question

Ajuda em Calculo Diferencial Integral, Limites/Derivadas:
Cheguei ao resultado na questão B Lim(h>0)=10+0,05h porem no fim do livro diz que é 20+0.05h... Alguem pode me ajudar?

Livro James Stewart Vol1

Answer 1

Olá, André, boa noite, não?

Vamos lá, derivaremos C(x) de uma maneira mais formal. 

$f(x) = C(x) = 5000 + 10 x + 0,05x^{2}     \lim_{x\to \ 100} f'(x) = [f(x+h) - f(x)]/{h}$

$f'(x) =5000 + 10x + 10h + 0,05x^{2} + 0,1xh + 0,05h^{2}$ $-5000 - 10x -0,05x^{2}$

Cancelando e dividindo por h, temos: 

$\lim_{x \to \ 100} f'(x) = 10 + 0,1x + 0,05h f'(x) = 10 + 10 + 0,05h = 20 + 0,05h$

Quando você derivou pelo método simples, esqueceu que h desapareceria e de passar o 2 para a frente do x, obtendo 0,05*2x= 0,1x. Substituindo x por 100 você teria 10 + 10 = 20 

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Façamos

C(100+h)=5000+10(100+h)+0,05(100+h)²

C(100+h)=5000+1000+10h+0,05(10000+200h+h²)

$\boxed{C(100+h)=6500+20h+0,05h^{2}}$

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C(100)=5000+10.100+0,05.100²

C(100)=5000+1000+0,05.10000

C(100)=6000+500

$\boxed{C(100)=6500}$

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Aplicando na fórmula de limite

$\lim_{h \to 0} \dfrac{C(100+h)-C(100)}{h}=\\ \\\\=\lim_{h \to 0} \dfrac{6500+20h+0,05h^{2}-6500}{h}=\\\\=\lim_{h \to 0} \dfrac{20h+0,05h^{2}}{h}=\\\\=\lim_{h \to 0} \dfrac{h(20+0,05h)}{h}=\\\\=\lim_{h \to 0} (20+0,05h)=\\\\=20+0,05.0=\\\\=20$