Question

Ajuda com Integral. Apenas a letra U.

Answer 1

Vamos fazer uma substituição especial e posteriormente derivar por partes:

$\boxed{\int\ e^{\sqrt{2x}}\ dx}$

Vamos dizer que:

$t^2=2x\\\\ 2tdt=2dx\\\\ \boxed{dx=tdt}$

Substituindo, temos que :

$\int\ e^{\sqrt{t^2}}\ tdt\\\\ \boxed{\int\ t*e^t\ dt}$

Integrando por partes:

$\boxed{\int\ udv=uv-\int\ vdu}$

Então, temos que:

$u=t\\\\ \boxed{du=dt}\\\\ dv=e^tdt\\\\ \boxed{v=e^t}$

Substituindo:

$\int\ t*e^t\ dt=t*e^t-\int\ e^t\ dt\\\\ \int\ t*e^t\ dt= t*e^t-e^t$

$\boxed{\\\\ \int\ t*e^t\ dt=e^t(t-1)}$

Voltando:

$t^2=2x\\\\ \boxed{t=\sqrt{2x}}\\\\ \boxed{\therefore\ \int\ e^{\sqrt{2x}}\ dx=e^{\sqrt{2x}}(\sqrt{2x}-1)+C}$