Question

AJUDA COM FATORIAL!
Resolva as seguintes equações:
a) (n+2)!=6•n!
b) (n+2)!-(n+1)!/n(n-1)!=25
c) (n-5)!=1

Answer 1

a)

$(n+2)!=6n!\\(n+2)(n+1)n!=6n!$

Dividindo os dois lados da equação por n!:

$(n+2)(n+1)=6\\n^{2}+n+2n+2=6\\n^{2}+3n+2-6=0\\n^{2}+3n-4=0\\\\S=-b/a=-3/1=-3\\P=c/a=-4/1=-4$

Raízes: 2 números que quando somados dão -3 e quando multiplicados dão -4:

$n'=1\\n''=-4$

n = -4 não serve, logo:

$\boxed{\boxed{S=\{1\}}}$

b)

$\dfrac{(n+2)!-(n+1)!}{n(n-1)!}=25\\\\\\\dfrac{(n+2)(n+1)n(n-1)!-(n+1)n(n-1)!}{n(n-1)!}=25$

Colocando n(n - 1)! em evidência no numerador:

$\dfrac{n(n-1)!\cdot[(n+2)(n+1)-(n+1)]}{n(n-1)!}=25$

Cortando n(n - 1)!:

$(n+2)(n+1)-(n+1)=25$

Colocando (n + 1) em evidência:

$(n+1)\cdot(n+2-1)=25\\(n+1)\cdot(n+1)=25\\n^{2}+2n+1=25\\n^{2}+2n-24=0\\\\S=-b/a=-2/1=-2\\P=c/a=-24/1=-24$

Raízes: 2 números que quando somados dão -2 e quando multiplicados dão -24

$n'=4\\n''=-6$

n = -6 é descartado, ficando com:

$\boxed{\boxed{S=\{4\}}}$

c)
$(n-5)!=1$

1 = 0! e 1 = 1!, então teremos dois resultados:

$(n-5)!=1!\\n-5=1\\n=1+5\\n=6\\\\(n-5)!=0!\\n-5=0\\n=5\\\\\boxed{\boxed{S=\{5,6\}}}$

Answer 2

A solução das equações são: a) 1, b) 4, c) 5 e 6.

Seja n um número natural maior ou igual a 2.

Temos que o fatorial de n é igual a n! = n(n - 1)(n - 2)...3.2.1.

a) Perceba que (n + 2)! é o mesmo que (n + 2)(n + 1)n!.

Assim,

(n + 2)(n + 1)n! = 6n!

(n + 2)(n + 1) = 6

n² + 2n + n + 2 - 6 = 0

n² + 3n - 4 = 0.

Para resolver a equação do segundo grau acima, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = 3² - 4.1.(-4)

Δ = 9 + 16

Δ = 25

$n=\frac{-3+-\sqrt{25}}{2}$

$n=\frac{-3+-5}{2}$

$n'=\frac{-3+5}{2}=1$

$n''=\frac{-3-5}{2}=-4$.

Portanto, o valor de n é igual a 1.

b) Temos que (n + 1)! = (n + 1)n(n - 1)! e (n + 2)! = (n + 2)(n + 1)n(n - 1)!.

Então, no numerador temos que:

(n + 2)! - (n + 1)! = (n + 2)(n + 1)n(n - 1)! - (n + 1)n(n - 1)!

(n + 2)! - (n + 1)! = n(n - 1)!((n + 2)(n + 1) - (n + 1)).

Logo, a equação é igual a:

(n + 2)(n + 1) - (n + 1) = 25

n² + n + 2n + 2 - n - 1 = 25

n² + 2n - 24 = 0.

Utilizando a fórmula de Bhaskara:

Δ = 2² - 4.1.(-24)

Δ = 4 + 96

Δ = 100

$n=\frac{-2+-\sqrt{100}}{2}$

$n=\frac{-2+-10}{2}$

$n'=\frac{-2+10}{2}=4$

$n''=\frac{-2-10}{2}=-6$.

Portanto, a solução da equação é 4.

c) Perceba que 1! = 1. Então:

(n - 5)! = 1!

n - 5 = 1

n = 6.

Também, temos que 0! = 1. Então:

(n - 5)! = 0!

n - 5 = 0

n = 5.

Para mais informações sobre fatorial, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/5945956