Question

AJUDA AQUI É URGENTE - A solução da equação 4^x+ 6^x = 2 . 9^x é:

a) (0)

b) (1)

c) (–2)

d) (–2, 1)

e) (-1)​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos a seguinte equação exponencial, devemos relembrar algumas propriedades.

Seja a equação $4^x+6^x=2\cdot 9^x$

Divida ambos os lados da equação por $4^x$

$\dfrac{4^x+6^x}{4^x}=\dfrac{2\cdot 9^x}{4^x}$

Separe a fração como uma soma de frações e reescreva $\dfrac{2\cdot 9^x}{4^x}=2\cdot\dfrac{9^x}{4^x}$

$\dfrac{4^x}{4^x}+\dfrac{6^x}{4^x}=2\cdot\dfrac{ 9^x}{4^x}$

Aplique a propriedade  $\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n$ e simplifique as frações

$1+\left(\dfrac{6}{4}\right)^x=2\cdot\left(\dfrac{9}{4}\right)^x\\\\\\ 1+\left(\dfrac{3}{2}\right)^x=2\cdot\left(\dfrac{9}{4}\right)^x$

Perceba que $\dfrac{9}{4}=\dfrac{3^2}{2^2}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2$, logo

$1+\left(\dfrac{3}{2}\right)^x=2\cdot\left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\right)^x$

Aplique a propriedade de potência de potência, invertendo os expoentes

$1+\left(\dfrac{3}{2}\right)^x=2\cdot\left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^x\right)^2$

Então, substituímos $\left(\dfrac{3}{2}\right)^x=t$, assim teremos a equação quadrática:

$1+t=2t^2$

Traga todos os termos à direita da equação para a esquerda, alterando seus sinais, a fim de igualá-la a zero

$-2t^2+t+1=0$

Aplique a fórmula resolutiva

$t=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot(-2)\cdot1}}{2\cdot(-2)}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$t=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{-4}$

Some os valores

$t=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}}{-4}$

Sabendo que $9=3^2$, temos

$t=\dfrac{-1\pm3}{-4}$

Separe as soluções

$t=\dfrac{-1-3}{-4}~~~\mathtt{ou}~~~t=\dfrac{-1+3}{-4}$

Some os valores

$t=\dfrac{-4}{-4}~~~\mathtt{ou}~~~t=\dfrac{2}{-4}$

Simplifique as frações

$t=1~~~\mathtt{ou}~~~t=-\dfrac{1}{2}$

Desfaça a substituição $t=\left(\dfrac{3}{2}\right)^x$

$\left(\dfrac{3}{2}\right)^x=1~~~\mathtt{ou}~~~~ \left(\dfrac{3}{2}\right)^x=-\dfrac{1}{2}$

Porém, como se trata da potência de uma base positiva, admitimos somente a solução:

$\left(\dfrac{3}{2}\right)^x=1$

Tire o logaritmo de base $\dfrac{3}{2}$ em ambos os lados

$\log_{\frac{3}{2}}\left(\dfrac{3}{2}\right)^x=\log_{\frac{3}{2}}1$

Sabendo que $log_a(1)=0$ e $log_a a^n =n$, satisfeitas as condições de existência, temos

$x=0$

Esta é a solução para a equação exponencial e é a resposta contida na letra a).