Question

Ajuda!Alguém???????
Limite!!
Calcule a área limitada pelos gráficos de f(x)= raiz quadrada de 4x e g(x)=x

Answer 1

Bom, na verdade acho que não é limite, mas sim integral.

Para calcular a área que está delimitada entre duas curvas, utilizamos

$A = \int\limits^a_b {[f(x)-g(x)]} \, dx$

Para encontrar os limites de integração, temos que saber onde as duas curvas se interceptam. Para isso, devemos igualar as duas curvas, ou seja, f(x) = g(x)

$\sqrt{4x} = x \\ \\ ( \sqrt{4x} )^{2} = x^{2} \\ \\ 4x = x^{2} \\ \\ x^{2} -4x = 0 \\ \\ x(x-4) = 0 \\ \\ x = 0 \\ \\ x - 4 = 0 \\ \\ x = 4$

As curvas se interceptam em x = 0 e x = 4, logo a área delimitada pelas curvas será:

$A = \int\limits^4_0 {\sqrt{4x} -x} \, dx \\ \\ A =\int\limits^4_0 {\sqrt{4x} -x} \, dx \\ \\ A =\int\limits^4_0 {2\sqrt{x} -x} \, dx \\ \\ A = \int\limits^4_0 {2. x^{ \frac{1}{2} } -x} \, dx \\ \\ A = [2. \frac{ x^{\frac{3}{2}} }{ \frac{3}{2} } - \frac{ x^{2} }{2} ]\limits^4_0 \\ \\ A = [\frac{ 4x^{\frac{3}{2}} }{ 3} - \frac{ x^{2} }{2} ]\limits^4_0 \\ \\ A = [\frac{ 4 \sqrt{ x^{3} } }{ 3} - \frac{ x^{2} }{2} ]\limits^4_0$

$A = [\frac{ 4 \sqrt{ x^{3} } }{ 3} - \frac{ x^{2} }{2} ]\limits^4_0 \\ \\ A = (\frac{ 4 \sqrt{ 4^{3} } }{ 3} - \frac{ 4^{2} }{2})-(\frac{ 4 \sqrt{ 0^{3} } }{ 3} - \frac{ 0^{2} }{2}) \\ \\ A = (\frac{ 4 \sqrt{ 64 } }{ 3} - \frac{ 16 }{2})-0 \\ \\ A = \frac{ 4. 8 }{ 3} - \frac{ 16 }{2} \\ \\ A = \frac{ 32 }{ 3} - \frac{ 16 }{2} \\ \\ A = \frac{8}{3} u.a.$