Question

(AFA) Seja uma progressão de 3 termos positivos com razão 2. O primeiro termo, o último e a soma dos 3 termos dessa PG nessa ordem foram os três primeiros termos de uma Progressão Aritmética. A razão entre os termos 24 e 34 dessa PA é:

(a) 0,4
(b) 0,7
(c) 1,4
(d) 1,7

Answer 1

Vamos chamar a PG de  $(g_1,g_2,g_3)$ e a PA de $(a_1,a_2,a_3)$.

Sabemos que na PG a razão é q=2 e ainda que podemos escrever os termos da PG em função do primeiro termo e da razão.

Observe: $(g_1,g_2,g_3) = (g_1,g_1q,g_1q^2) = (g_1,2g_1,2^2g_1) = (g_1,2g_1,4g_1).$

Sabemos ainda pelo enunciado que

$(g_1,g_3, g_1+g_2+g_3) = (a_1,a_2,a_3)$ O primeiro termo, o último e a soma dos 3 termos da PG é a PA.

Então temos que:

o primeiro termo da PA tbm é o primeiro termo da PG, $a_1=g_1$

e que o segundo termo da PA é o terceiro termo da PG, ou seja, $a_2=g_3$

Sabemos ainda que a razão da PA é encontrada subtraído o primeiro termo do segundo termo por exemplo, assim: $a_2-a_1 = r$. Isto é

que $g3-g1 = 4g_1-g1=3g_1=r$. Ou seja,a razão da PA é igual ao triplo do primeiro termo da PG.


Sabendo disso, vamos determinar o termo de ordem 24 e de ordem 30 da PA

Com efeito,

cálculo de $a_{24}$
$a_{24} = a_1+(24-1)r\\ \\ a_{24} = a_1+23r\\ \\ a_{24} = g_1+23*3g_1 = g_1+69g_1 \\ \\a_{24} = 70g_1$

cálculo de $a_{34}$

$a_{34}= a_1+(34-1)r\\ \\a_{34}= g_1+33*3g_1 \\ \\a_{34}= g_1+99g_1 \\ \\ a_{34}=100g_1$

Logo, a razão entre $a_{24}$ e $a_{34}$ será

$\frac{a_{24}}{a_{34}} = \frac{70g_1}{100g_1} = \frac{7}{10} = 0,7$


Portanto, a resposta será (b) 0,7