Question

(AFA) Sabendo que a equação 2x² + px - 1 = 0 admite as raízes sen(α) e cos(α),

podemos dizer que o valor de p é:



ajudem-me ,só consegui fazer até aqui
$seno( \alpha ) + cosseno( \alpha ) = \frac{ - p}{2} \\ seno( \alpha ) \times cosseno( \alpha ) = - \frac{ - 1}{2}$
gabarito é "0"
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Answer 1

Temos a seguinte equação:

$2x {}^{2} + px - 1 = 0$

A questão diz que essa equação admite como raízes $\sin(\alpha)\:e\:\cos(\alpha)$, a partir dessa informação pergunta o valor de p. Primeiro vamos lembrar que a raiz de uma equação é algo que quando substituimos no valor da variável, faça com que a igualdade seja verdadeira, ou seja, vamos iniciar fazendo a substituição dessas raízes na equação:

Primeiro para o seno:

$2.( \sin( \alpha) ) {}^{2} + p. \sin( \alpha ) - 1 = 0 \\ 2. \sin {}^{2} ( \alpha ) + p. \sin( \alpha ) - 1 = 0$

Para resolver essa equação, vamos usar uma substituição. Digamos que:

$\sin( \alpha ) = \beta$

Substituindo essa informação:

$2.( \sin( \alpha )) {}^{2} + p. \sin( \alpha ) - 1 = 0 \\ 2. \beta {}^{2} + p. \beta - 1 = 0$

Agora é só resolver essa equação do 2° grau:

$\text{ coeficientes } \to \begin{cases}a = 2 \\ b = p \\ c = - 1 \end{cases} \\ \\ \beta = \frac{ - b \pm \sqrt{b {}^{2} - 4ac } }{2a} \\ \beta = \frac{ - p \pm \sqrt{p {}^{2} - 4.2.( - 1)} }{2.2} \\ \beta = \frac{ - p \pm \sqrt{p {}^{2} + 8} }{4}$

Substituindo essa informação naquela substituição, temos que:

$\sin( \alpha ) = \frac{ - p \pm \sqrt{p {}^{2} + 8} }{4}$

Observe que se fizermos isso para o cosseno, o resultado será o mesmo, pois gerará a mesma equação, então teremos que:

$\cos( \alpha ) = \frac{ - p \pm \sqrt{p {}^{2} + 8}}{4}$

Sabendo desses resultados, podemos utilizar a relação fundamental da trigonometria:

$\sin {}^{2} ( \alpha ) + \cos {}^{2} ( \alpha ) = 1$

Vamos iniciar pegando apenas uma das soluções, pois temos duas para cada raiz (±):

$\left( \frac{ - p + \sqrt{p {}^{2} + 8 } }{4} \right) {}^{2} + \left( \frac{ - p + \sqrt{p {}^{2} + 8 } }{4} \right) {}^{2} = 1$

Como são temos iguais, escrevemos como:

$2. \left( \frac{ - p + \sqrt{p {}^{2} + 8 } }{4} \right) {}^{2} = 1 \\ \\ \left( \frac{ - p + \sqrt{p {}^{2} + 8 } }{4} \right) {}^{2} = \frac{1}{2}$

Agora vamos desenvolver essa produto notável:

$\left( \frac{ - p + \sqrt{p {}^{2} + 8 } }{4} \right) \cdot \left( \frac{ - p + \sqrt{p {}^{2} + 8 } }{4} \right) = \frac{1}{2} \\ \\ \left( - \frac{p}{4} + \frac{\sqrt{p {}^{2} + 8 } }{4} \right) \cdot \left( - \frac{p}{4} + \frac{\sqrt{p {}^{2} + 8 } }{4} \right) = \frac{1}{2} \\ \\ \left( - \frac{p}{4} \right) {}^{2} + 2.\left( - \frac{p}{4} \right) .\left( - \frac{ \sqrt{p {}^{2} + 8 } }{4} \right) + \left( - \frac{ \sqrt{p {}^{2} + 8} }{4} \right) ^{2} = \frac{1}{2} \\ \\ \frac{p {}^{2} }{16} - \frac{p \sqrt{p {}^{2} + 8 } }{8} + \frac{p {}^{2} + 8}{16} = \frac{1}{2} \\ \\ \frac{p {}^{2} - 2p \sqrt{p {}^{2} + 8 } + p {}^{2} + 8}{16} = \frac{1}{2} \\ \\ p {}^{2} - 2p \sqrt{p {}^{2} + 8} + p {}^{2} + 8 = 8 \\ \\ 2p {}^{2} - 2p \sqrt{p {}^{2} + 8} = 0$

Para remover essa raíz, vamos levar ambos os membros ao quadrado, então:

$(2p {}^{2} )^{2} = (2 p\sqrt{p {}^{2} + 8})^{2} \\ \\ 4p {}^{4} = 4p {}^{2} .(p {}^{2} + 8) \\ \\ 4p {}^{4} = 4p {}^{4} + 32p {}^{2} \\ \\ 32p {}^{2} = 0 \\ \\ p = \sqrt{ \frac{0}{32} } \\ \\ \boxed{ p = 0}$

Se fizermos com a outra solução, também obteremos o mesmo resultado (p = 0). Portanto assim podemos dizer que de fato p = 0.

Espero ter ajudado