Question

Adotando-se Log 2=a e Log 3=b, o valor de log135 na base 1,5 é igual a:

Answer 1

Oi Barbara

log(2) = a
log(3) = b
log(5) = log(10/2) = log(10) - log(2) = 1 - a

log3/2(135) = log(135)/(log(3) - log(2))

135 = 3³*5 

 log(135)/(log(3) - log(2)) =  log(3³*5)/(log(3) - log(2)) = 

(3log(3) + log(5))/(log(3) - log(2)) = (3b + 1 - a)/(b - a)

.

Answer 2

O valor do logarítmo de 135 na base 1,5 é (1 + 3b -a)/b-a

Mudança de base

Antes de começarmos, o ideal é fazer uma mudança de base, para a base 10. Assim, conseguiremos representar o logarítmo como a e b:

$log_ab = \frac{log~b}{log~a}\\\\log_{1,5}135 = \frac{log~135}{log~1,5}$

Agora reescreveremos os números 135 e 1,5 como produtos, divisões ou potências de 10, 2 e 3, para usarmos as propriedades dos logaritmos:

1,5 = 3/2

135 = 3³ · 5 = 3³ · 10/2

Propriedades dos logaritmos

As propriedades dos logaritmos que usaremos são a do logaritmo do produto, a do logaritmo da divisão e a do logaritmo da potência:

$log ~ xy = log ~x + log ~y\\\\log ~\frac{x}{y} = log ~x - log ~y\\\\log ~ x^y = y\cdot log~x$

Assim, temos:

$log_{1,5}135 = \frac{log~135}{log~1,5} = \frac {log~ 3^3\cdot \frac{10}{2}}{log~\frac{3}{2}}\\\\= \frac{log~ 3^3+log ~10 - log~ 2}{log~ 3 - log~ 2} = \frac{3\cdot log~ 3 + 1 - log~ 2}{log~ 3 - log~ 2} = \frac{1+3b-a}{b-a}$

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