Question

Admitindo que a circunferência tenha um raio igual a 3cm, calcule a medida da área hachurada.

Answer 1

Observe a figura em anexo.

O triângulo OPQ é um triângulo retângulo no ponto Q, cuja hipotenusa coincide com o raio da circunferência.

O cateto OQ do triângulo coincide com o apótema do pentágono regular, cuja medida é a.

Observe que dentro do pentágono cabem 10 triângulos congruentes a OPQ, Dessa forma, conseguimos encontrar a medida do ângulo interno QOP do triângulo retângulo:

    $\mathsf{med(Q\widehat{O}P)=\dfrac{360^\circ}{2n}}\\\\\\ \mathsf{med(Q\widehat{O}P)=\dfrac{360^\circ}{2\cdot 5}}\\\\\\ \mathsf{med(Q\widehat{O}P)=\dfrac{360^\circ}{10}}\\\\\\ \mathsf{med(Q\widehat{O}P)=36^\circ\qquad\checkmark}$

Além disso, temos que

   

    $\mathsf{cos(36^\circ)=\dfrac{cateto~adjacente}{hipotenusa}}\\\\\\ \mathsf{cos(36^\circ)=\dfrac{a}{r}}\\\\\\ \mathsf{a=r\,cos(36^\circ)}\\\\ \mathsf{a=3\,cos(36^\circ)}\\\\ \mathsf{a\approx 2,\!43~cm\qquad\checkmark}$

Seja A₁ a área do pentágono regular. Sabemos que A₁ é igual a 10 vezes a área do triângulo OPQ:

   

    $\mathsf{A_1=10\cdot A_{\triangle OPQ}}\\\\\\ \mathsf{A_1=10\cdot \Big[\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot r\cdot sen(36^\circ)\Big]}\\\\\\ \mathsf{A_1=10\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 3\,cos(36^\circ)\cdot 3\cdot sen(36^\circ)}\\\\\\ \mathsf{A_1=45\,cos(36^\circ)\,sen(36^\circ)}\\\\\\ \mathsf{A_1\approx 21,\!40~cm^2\qquad\checkmark}$

A área hachurada A é igual à área do círculo menos a área do pentágono regular:

    $\mathsf{A=\pi r^2-A_1}\\\\\\ \mathsf{A\approx \pi \cdot 3^2-21,\!40}\\\\\\ \mathsf{A\approx 3,\!14 \cdot 9-21,\!40}\\\\\\ \mathsf{A\approx 28,\!26-21,\!40}\\\\\\ \mathsf{A\approx 6,\!86~cm^2\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

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Bons estudos! :-)