Question

Admita se que 1/3 de um grupo de alunos tenham deficit de atenção.Qual a probalidade de que, enyre 5 alu os escolhidos ao acaso mais de 2 tenham deficit de atenção ?​

Answer 1

Temos 3 modos para que, entre 5 alunos, 2 alunos tenham TDAH:

--> 3 Alunos com TDAH e 2 alunos sem o transtorno.

--> 4 Alunos com TDAH e 1 alunos sem o transtorno.

--> 5 Alunos com TDAH e 0 alunos sem o transtorno.

Sendo assim, podemos afirmar que a probabilidade de mais de 2 alunos ter TDAH entre 5 escolhidos é a soma das probabilidades de cada modo descrito acima.

Note que podemos modelar estas probabilidades de forma binomial, ou seja, podemos dizer que, como um "cara ou coroa", há duas possibilidades: Ter TDAH e Não Ter TDAH

Sendo assim, podemos então utilizar a lei binomial de probabilidade, a qual possui uma formulação para facilitar os cálculos.

$P_k~=~\binom{n}{k}\,.\,p^k\,.\,(1-p)^{n-k}$

Na formulação:

--> "n" : Numero total de eventos realizados

--> "k" : Numero de vezes ocorridas de um evento desejado.

--> "p" : Probabilidade de o evento desejado ocorrer

Agora, aplicando a formulação para cada um dos modos anteriormente descritos.

3 Alunos com TDAH e 2 alunos sem o transtorno:

$P_3~=~\binom{5}{3}\,.\,\left(\frac{1}{3}\right)^3\,.\,\left(1-\frac{1}{3}\right)^{5-3}\\\\\\P_3~=~\frac{5!}{3!\,.\,(5-3)!}\,.\,\frac{1}{27}\,.\,\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\\\\\\P_3~=~10\,.\,\frac{1}{27}\,.\,\frac{4}{9}\\\\\\\boxed{P_3~=~\frac{40}{243}}$

4 Alunos com TDAH e 1 alunos sem o transtorno:

$P_4~=~\binom{5}{4}\,.\,\left(\frac{1}{3}\right)^4\,.\,\left(1-\frac{1}{3}\right)^{5-4}\\\\\\P_4~=~\frac{5!}{4!\,.\,(5-4)!}\,.\,\frac{1}{81}\,.\,\left(\frac{2}{3}\right)^{1}\\\\\\P_4~=~5\,.\,\frac{1}{81}\,.\,\frac{2}{3}\\\\\\\boxed{P_4~=~\frac{10}{243}}$

5 Alunos com TDAH e 0 alunos sem o transtorno:

$P_5~=~\binom{5}{5}\,.\,\left(\frac{1}{3}\right)^5\,.\,\left(1-\frac{1}{3}\right)^{5-5}\\\\\\P_5~=~\frac{5!}{5!\,.\,(5-5)!}\,.\,\frac{1}{243}\,.\,\left(\frac{2}{3}\right)^{0}\\\\\\P_5~=~1\,.\,\frac{1}{243}\,.\,1\\\\\\\boxed{P_5~=~\frac{1}{243}}$

Por fim, somando as probabilidades, temos:

$P_{\,2\,ou\,+\,ter\,TDAH}~=~\frac{40}{243}+\frac{10}{243}+\frac{1}{243}\\\\\\P_{\,2\,ou\,+\,ter\,TDAH}~=~\frac{51}{243}\\\\\\P_{\,2\,ou\,+\,ter\,TDAH}~\approx~0,2099\\\\\\\boxed{P_{\,2\,ou\,+\,ter\,TDAH}~\approx~21\%}$