Question

Adaptada de uminho -2012 Um pêndulo , pendurado no teto de uma sala, quando em movimento ,tem uma equação f(x) EXPRESSA a sua distância com relação à parede em função do tempo x, dada por f(x) = 80+ 90cos(πx/3 ) para x≥ 0. DETERMINE , PELO MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO , o isntante x em que o pêndulo toca a parede . sabendo que isso deverá ocorrer entre os instantes 3,3 e3,5 segundos, assuma ɛ =0,01

Answer 1

Mudança de variável: t → x e d → f e colocação da calculadora em modo radianos.

Quando o pêndulo toca na parede, d = 0. Coloca-se a função na forma f(x) = 0, i.e., f(x) = 80 + 90cos( π 3 x) = 0

A derivada da função é f ′ (x) = −30πsen( π 3 x). Realiza-se a primeira iteração, aplicando a expressão (A.2), com k = 1 e x1 = 4: x2 = x1 − f(x1) f ′ (x1) = 4 − 35.0000 81.6210 = 3.5712 Verifica-se o critério de paragem, através de (A.4): |f(x2)| = 5.6264 ≤ 0.001 (Falso!).

Como a segunda condição não é verificada, não é necessário calcular a primeira |x2 − x1| |x2| ≤ ε1 , prosseguindo-se com as iterações, que só finalizam quando as duas condições do critério de paragem forem verificadas em simultâneo. 11

Tem-se assim x3 = 3.46652, x4 = 3.4545 e x5 = 3.4544. Verificação do critério de paragem: |x5 − x4| |x5| = |3.4544 − 3.4545| |3.4544| = 0.000003 < 0.003 (Verdadeiro!) |f(x5)| = 0.0000 < 0.003 (Verdadeiro!)

A solução é encontrada ao fim de 4 iterações. O instante de tempo é t ∗ ≈ 3.4544 segundos.

Estimativa do erro relativo: |x5 − x4| |x5| = |3.4544 − 3.4545| |3.4544| = 0.000003 

SOLUÇÂO: 3,4544

Answer 2

Resposta:

SOLUÇÂO: 3,4544

Explicação passo-a-passo: