Question

Ache uma equação da reta tangente a curva y=x³- 4 no ponto (2,4).

Answer 1

Equacao da reta é dada por :

Y - Yo = m ( X - Xo)

m = Coeficiente Angular

Temos os pontos Yo = 4 e Xo =2 , Só falta encontrar o "m" .

Lembrando que o m = f'(x)

Sendo assim :

f (x) = x^3 - 4
f'(x) = 3x^2

m = f'(2) = 3 . 2^2 = 3 . 4 = 12.

Agora lançando na equação da reta :

Y - 4 = 12 (X - 2)
Y = 12x - 24 + 4
Y = 12x -20 ---> Equação Final .

Answer 2

O coeficiente angular da reta tangente em um ponto é igual a derivada da função aplicada naquele ponto.Seja m tal coeficiente.Pela definição de derivada,temos que:

m=$\lim_{x \to \ 2} (x^3- 4 -4)/(x-2)$ = $\lim_{x \to \ 2} (x^3- 8)/(x-2)$

Sabe-se que (x³-8)=(x-2)(x²+2x+4).Logo,temos:


$\lim_{x \to \ 2} (x^3- 8)/(x-2)$ = $\lim_{x \to \ 2} (x-2)(x^2+2x+4)/(x-2)$ = 12

Seja a equação da reta tangente y=mx+n.Sabemos que m=12 e temos um ponto dado.Assim:

4=12*2+n <=> n=-20

Portanto,a equação da da reta tangente é:

y=12x-20

Observação: para calcular m,você também podia derivar a função e calcular f'(2)=m.