Question

Ache todos os inteiros positivos m e n de modo que
${9m}^{2 } + 3n = {n}^{2} + 8$
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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf 9m^2+3n=n^2+8$

$\sf 9m^2-n^2=8-3n$

$\sf (3m)^2-n^2=8-3n$

$\sf (3m+n)\cdot(3m-n)=8-3n$

Sejam $\sf x=3m~e~y=n$

$\sf (x+y)\cdot(x-y)=8-3y$

$\sf x^2-y^2=8-3y$

$\sf y^2-3y+8-x^2=0$

$\sf \Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot(8-x^2)$

$\sf \Delta=9-32+4x^2$

$\sf \Delta=4x^2-23$

$\sf 4x^2-23$ deve ser um quadrado perfeito

$\sf 4x^2-23=k^2$

$\sf 4x^2-k^2=23$

$\sf (2x)^2-k^2=23$

$\sf (2x+k)\cdot(2x-k)=23$

Como 23 é primo, há duas possibilidades:

1)

$\sf \begin{cases} \sf 2x+k=23 \\ \sf 2x-k=1 \end{cases}$

Somando as equações:

$\sf 2x+2x+k-k=23+1$

$\sf 4x=24$

$\sf x=\dfrac{24}{4}$

$\sf \red{x=6}$

Assim:

$\sf 2x+k=23$

$\sf 2\cdot6+k=23$

$\sf 12+k=23$

$\sf k=23-12$

$\sf \red{k=11}$

2)

$\sf \begin{cases} \sf 2x+k=1 \\ \sf 2x-k=23 \end{cases}$

Somando as equações:

$\sf 2x+2x+k-k=1+23$

$\sf 4x=24$

$\sf x=\dfrac{24}{4}$

$\sf \red{x=6}$

Assim:

$\sf 2x+k=1$

$\sf 2\cdot6+k=1$

$\sf 12+k=1$

$\sf k=11-12$

$\sf \red{k=-11}$

Logo:

$\sf y^2-3y+8-x^2=0$

$\sf \Delta=4x^2-23$

$\sf \Delta=4\cdot6^2-23$

$\sf \Delta=4\cdot36-23$

$\sf \Delta=144-23$

$\sf \Delta=121$

$\sf y=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{121}}{2\cdot1}=\dfrac{3\pm11}{2}$

$\sf y'=\dfrac{3+11}{2}~\Rightarrow~y'=\dfrac{14}{2}~\Rightarrow~\red{y'=7}$

$\sf y"=\dfrac{3-11}{2}~\Rightarrow~y"=\dfrac{-8}{2}~\Rightarrow~\red{y"=-4}$ (não serve, pois y > 0)

Desse modo, x = 6 e y = 7

• $\sf x=3m$

$\sf 6=3m$

$\sf m=\dfrac{6}{3}$

$\sf \red{m=2}$

• $\sf y=n$

$\sf \red{n=7}$

A única solução é m = 2 e n = 7