Question

Ache os valores máximo e mínimo absolutos de f(x) =2x³-15x²+36x no intervalo[1,5] e determine onde eles ocorrem.

Answer 1

Utilizando a ideia de derivada segunda para pontos criticos locais e maximos e minimo temos que os pontos maximo e minimo neste intervalo são respectivamente (5,55) e (1,23).

Explicação passo-a-passo:

O valores de maximo e minimos de funções são dados pelos pontos criticos das funções, que são onde a derivada da função é igual a 0.

Para saber se estes pontos criticos são maximo ou minimo, temos que substituir estes valores de x criticos na segunda derivada da função, se este valor for positivo, então é um ponto minimo, se for negativo é uma ponto maximo, então tirando as derivadas:

$f(x)=2x^3-15x^2+36x$

$f'(x)=6x^2-30x+36$

$f''(x)=12x-30$

Agora já temos todas as derivadas, vamos fazer o mencionado anteriormente:

$f'(x)=6x^2-30x+36=0$

$f'(x)=x^2-5x+6=0$

Usando soma e produto vemos que as raízes desta equação são 2 e 3, ou seja, em x=2 e x=3 temos pontos criticos, agora vamos ver se estes pontos são de maximo ou minimo substituindo eles na segunda derivada.

Para x=2:

$f''(x)=12x-30$

$f''(x)=12.2-30=-6$

Ponto de Maximo.

Para x=3:

$f''(x)=12x-30$

$f''(x)=12.3-30=6$

Ponto de Minimo.

Mas agora falta mais uma coisa, precisamos verificar se este pontos realmente são menores que a propria função na borda, pois este pontos são maximo e minimo locais,então vamos substituir eles na função:

Para x=2:

$f(x)=2x^3-15x^2+36x$

$f(x)=2.2^3-15.2^2+36.2=16-60+72=28$

Para x=3:

$f(x)=2x^3-15x^2+36x$

$f(x)=2.3^3-15.3^2+36.3=54-135+108=27$

Agora vamos verificar se as bordas são maiores que os pontos criticos:

Para x=1:

$f(x)=2x^3-15x^2+36x$

$f(x)=2.1^3-15.1^2+36.1=2-15+36=23$

Menor que o ponto minimo local em x=3.

Para x=5:

$f(x)=2x^3-15x^2+36x$

$f(x)=2.5^3-15.5^2+36.5=250-375+180=55$

Maior que o maximo local em x=2.

Então os pontos maximo e minimo neste intervalo são respectivamente (5,55) e (1,23).