Question

Ache o intervalo de valores para $m$ tal que $|x^2 -3x+3| = mx$ tenha quatro soluções distintas.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{m\in\mathbb{R}-\left\{-3-2\sqrt{3},~3-2\sqrt{3},~-3+2\sqrt{3},~3+2\sqrt{3}\right\}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para encontrarmos o intervalo de valores de $m$ que satisfazem a equação

$|x^2-3x+3|=mx$, de forma que ela apresente quatro soluções distintas, devemos relembrar algumas propriedades do discriminante Delta.

Observe que existem duas formas de representarmos o módulo, quando a função em módulo é positiva ou negativa (visto que o módulo é o valor absoluto da função em um ponto).

Teremos:

$\begin{cases}x^2-3x+3=mx\\x^2-3x+3=-mx\\\end{cases}$

Na primeira equação, temos:

$x^2-3x+3=mx$

Subtraindo $mx$ em ambos os lados da equação, temos

$x^2-3x+3-mx=0$

Agrupando os termos semelhantes

$x^2-(3+m)x+3=0$

Então, lembre-se das propriedades do discriminante Delta:

O discriminante $\Delta$ é calculado a partir dos coeficientes reais da equação quadrática $ax^2+bx+c=0$, tal que $a\neq0$ a partir da fórmula: $\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c$. O resultado deste discriminante nos diz qual a relação entre as raízes, que podem ser:

• $\Delta>0$, a equação apresenta duas raízes reais distintas.
• $\Delta=0$, a equação apresenta duas raízes reais iguais.
• $\Delta<0$, a equação apresenta duas raízes complexas conjugadas.

Logo, sendo o discriminante:

$\Delta=(-(3+m))^2-4\cdot 1\cdot 3$

Expanda o binômio e some os termos semelhantes.

$\Delta=9+6m+m^2-12\\\\\\ \Delta=m^2+6m-3$

Como não nos foi dito que as soluções devem ser reais, temos dois casos possíveis:

Quando $\Delta>0$, teremos

$m^2+6m-3>0$

Para resolvermos esta inequação quadrática, analisamos para quais soluções de $m$ a parábola intersecta o eixo das abcissas. Em outras palavras, devemos calcular:

$\bold{m^2+6m-3} =\bold{0}$

Pela fórmula resolutiva, temos que

$m=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}$

Calculando a potência e multiplicando os valores, temos

$m=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+12}}{2}$

Some os valores

$m=\dfrac{-6\pm\sqrt{48}}{2}$

Decompondo o radicando em fatores primos, temos que $48=2^4\cdot 3$, logo

$m=\dfrac{-6\pm4\cdot\sqrt{3}}{2}$

Separando as soluções

$m=\dfrac{-6-4\sqrt{3}}{2}~~~\mathtt{ou}~~~m=\dfrac{-6+4\sqrt{3}}{2}$

Simplificando as frações, temos que

$m=-3-2\sqrt{3}~~~\mathtt{ou}~~~m=-3+2\sqrt{3}$

Observe o gráfico em anexo:

As soluções de $m$ que satisfazem a condição $\Delta>0$ pertencem ao intervalo:

$m\in~\left]-\infty,-3-2\sqrt{3}\right[\cup} \left]-3+2\sqrt{3},~+\infty\right[$ e a equação apresenta duas soluções reais distintas.

Para que $\Delta<0$, fazemos o mesmo, de forma que agora $m$ pertence ao intervalo:

$m\in~\left]-3-2\sqrt{3},~-3+2\sqrt{3}\right[$ e a equação apresenta duas raízes complexas conjugadas.

Na segunda equação, temos:

$x^2-3x+3=-mx$

Some $mx$ em ambos os lados da equação

$x^2-3x+3+mx=0$

Agrupe os termos semelhantes

$x^2-(3-m)x+3=0$

Aplique os coeficientes na fórmula do discriminante:

$\Delta=(-(3-m))^2-4\cdot1\cdot3$

Expanda o binômio e multiplique os valores

$\Delta=9-6m+m^2-12\\\\\\ \Delta=m^2-6m-3$

Para o caso $\Delta>0$, repetimos o processo de análise do gráfico

Calculamos as soluções para $m=0$ pela fórmula:

$m=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$m=\dfrac{6\pm\sqrt{36+12}}{2}$

Some os termos no radicando

$m=\dfrac{6\pm\sqrt{48}}{2}$

Já vimos que $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$, logo

$m=\dfrac{6\pm4\sqrt{3}}{2}$

Separe as soluções

$m=\dfrac{6-4\sqrt{3}}{2}~~~\mathtt{ou}~~~~ m=\dfrac{6+4\sqrt{3}}{2}$

Simplifique as frações

$m=3-2\sqrt{3}~~~\mathtt{ou}~~~~ m=3+2\sqrt{3}$

Obserrve o gráfico em anexo (2):

As soluções de $m$ que satisfazem a condição $\Delta>0$ pertencem ao intervalo:

$m\in\left]-\infty,~3-2\sqrt{3}\right[\cup\left]3+2\sqrt{3},~+\infty\right[$

Para que $\Delta<0$, fazemos o mesmo, de forma que agora $m$ pertence ao intervalo:

$m\in\left]3-2\sqrt{3},~3+2\sqrt{3}\right[$.

Por fim, veremos que quaisquer valores de $m$ que tornem os discriminantes em ambas equações iguais a zero não nos interessam, pois isso resultaria em duas soluções reais iguais.

Então, nossa resposta será:

$m\in\mathbb{R}-\{-3-2\sqrt{3},~3-2\sqrt{3},~-3+2\sqrt{3},~3+2\sqrt{3}\}$