Question

ache as equações das duas retas que passam pelo ponto ( 3 , 1 ) e são tangente a curva y = x^2 - 4 .

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que as equações das retas tangentes ao gráfico da referida função quadrática que passando pelo ponto dado são, respectivamente:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t_{1}: y = 2x - 5\:\:\:}}\end{gathered} }$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t_{2}: y = 10x - 29\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                   $\Large\begin{cases} y = x^{2} - 4\\P(3, 1)\end{cases}$

Sabemos que:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$    

Todo ponto de tangência "T" é dado da seguinte forma:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} T = (x_{T},\,f(x_{T}))\end{gathered}$

Sabemos que toda reta tangente a uma determinada curva pode ser obtida a partir da fórmula ponto/declividade da reta que pode ser representada por:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$             $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Sendo:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$

Além disso, sabemos que o coeficiente angular da reta é numericamente igual à derivada primeira da função no ponto de tangência, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{T})\end{gathered}$

Substituindo "II" e "III" na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Sabendo que o ponto P é...

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} P = (x, y) = (3, 1)\end{gathered}$

...devemos substituir as coordenadas do ponto P na equação "IV". Então temos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 - f(x_{T}) = f'(x_{T})\cdot(3 - x_{T})\end{gathered}$

Substituindo os valores, desenvolvendo, simplificando e resolvendo esta última equação, temos:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 - \left[x_ {T}^{2} - 4\right] = \left[2\cdot x_{T} - 0\right]\cdot(3 - x_{T})\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 - x_{T}^{2} + 4 = 2x_{T}\cdot(3 - x_{T})\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 - x_{T}^{2} + 4 = 6x_{T} - 2x_{T}^{2}\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 - x_{T}^{2} + 4 - 6x_{T} + 2x_{T}^{2} = 0\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} x_{T}^{2} - 6x_{T} + 5 = 0\end{gathered}$

Calculando o valor das raízes desta equação do segundo grau, temos:

   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x_{T} = \frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^{2} - 4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}\end{gathered} }$

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{6\pm\sqrt{36 - 20}}{2}\end{gathered} }$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3\pm2\end{gathered}$

Obtendo as raízes, temos:

  $\Large\begin{cases} x_{T}' = 3 - 2 = 1\\x_{T}'' = 3 + 2 = 5\end{cases}$

Portanto, o conjunto solução é:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{1,\,5\}\end{gathered}$

Agora devemos calcular as equações das retas tangentes. Para isso, basta substituir na equação "IV", cada uma das raízes. Então temos:

• Encontrando a primeira reta tangente:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - \left[1^{2} - 4\right] = \left[2\cdot1 - 0\right]\cdot(x - 1)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y + 3 = 2\cdot(x - 1)\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y + 3 = 2x - 2\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 2x - 2 - 3\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 2x - 5\end{gathered}$

• Encontrando a segunda reta tangente:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - \left[5^{2} - 4\right] = \left[2\cdot5 - 0\right]\cdot(x - 5)\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 21 = 10\cdot(x - 5)\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 21 = 10x - 50\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 10x - 50 + 21\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 10x - 29\end{gathered}$

Portanto, as retas tangentes são:

                               $\Large\begin{cases} t_{1}: y = 2x - 5\\t_{2}: y = 10x - 29\end{cases}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/12656648
2. https://brainly.com.br/tarefa/52803957
3. https://brainly.com.br/tarefa/36727787
4. https://brainly.com.br/tarefa/3602231
5. https://brainly.com.br/tarefa/24373983