Matemática, perguntado por jeobertmoreira, 10 meses atrás

Ache a solução particular para a equação dy/dx=(x^2-2x+1)/(y-1) , para y(1)=0

Soluções para a tarefa

Respondido por MSGamgee85
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Resposta:

\mathsf{\dfrac{y^2}{2}-y=\dfrac{x^3}{3}-x^2+x}

Explicação passo-a-passo:

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  • Essa tarefa é sobre equação diferencial ordinária, ou simplesmente EDO.
  • Numa EDO estamos interessados em descobrir uma função y = y(x) que satisfaça a igualdade.

Sem mais delongas, bora para a solução!

Solução:

1. Queremos achar a solução da EDO:

\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^2-2x+1}{y-1}}

restrita a condição de contorno:

\mathsf{y(1)=0}

2. Essa EDO é do tipo separável. Equações separáveis são aquelas que podem ser escritas no formato f(x) dx = g(y) dy. Escrevemos:

\mathsf{y-1\,dy=x^2-2x+1\,dx}

3. Agora, integre os dois lados da equação:

\mathsf{\displaystyle \int y-1\,dy=\displaystyle \int x^2-2x+1\,dx}

\mathsf{\dfrac{y^2}{2}-y+c_1=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2x^2}{2}+x+c_2}

\therefore \boxed{\mathsf{\dfrac{y^2}{2}-y=\dfrac{x^3}{3}-x^2+x+C}}\\\\\mathsf{onde \quad C=c_2-c_1}

4. Utilize a condição de contorno para obter a constante arbitrária C:

\mathsf{y(1)=0}

\mathsf{\dfrac{0^2}{2}-0=\dfrac{0^3}{3}-0^2+0+C}\\\\\therefore \boxed{\mathsf{C=0}}

5. Portanto, a solução geral é:

\boxed{\mathsf{\dfrac{y^2}{2}-y=\dfrac{x^3}{3}-x^2+x}}

Continue aprendendo com o link abaixo:

EDO Separável

https://brainly.com.br/tarefa/33080699

Bons estudos! :D

Equipe Brainly

Anexos:
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