Question

Achar o valor nominal de uma letra negociada a 8% aa, 3 meses de seu vencimento, sabendo-se que á diferença entre o desconto por fora e por dentro é de R$ 4,00 ?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Erikka, que a resolução parece mais ou menos simples.

i) Tem-se que um título foi descontado 3 meses antes do seu vencimento e foi negociado a 8% ao ano. Sabe-se que o desconto desses três meses tem uma diferença de R$ 4,00 entre o desconto por dentro (desconto racional) e o desconto por fora (desconto comercial).

ii) Note que:

ii.1) No desconto por dentro (desconto racional) o valor atual "VA" (aquele valor com que fica o dono do título após efetuado o desconto) é dado por:

VA = VN/(1+i)ⁿ , em que VA é o valor atual, VN é o valor nominal, "i" é a taxa de juros no período e "n" é o período do desconto do título feito antes do vencimento.

ii.2) Já no desconto por fora (desconto comercial) essa relação é dada assim:

VA = VN*(1-i)ⁿ , em que as letras representam o mesmo que já vimos no desconto racional.

iii) Como a diferença entre os dois descontos dados é de R$ 4,00 , então vamos efetuar essa diferença:

VN/(1+i)ⁿ - VN*(1-i)ⁿ = 4

Agora note: se a taxa de juros é de 8% ao ano e um ano tem 4 trimestres, então a taxa trimestral (que é o mesmo tempo do desconto antes do vencimento do título: 3 meses), então a taxa trimestral será de 2% (ou 0,02), pois basta que dividamos a taxa anual por "4", pois um ano tem 4 trimestres. Logo: 8% / 4 = 2% (ou 0,02).

Assim, fazendo as devidas substituições na nossa expressão acima, teremos:

VN/(1+0,02) - VN*(1-0,02) = 4 ----- desenvolvendo, teremos:

VN/(1,02) - VN*(0,98) = 4 ---- ou apenas:

VN/(1,02) - 0,98VN = 4

Note que o mmc é igual "1,02". Assim, utilizando-o apenas no 1º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):

[1*VN - 1,02*0,98VN]/1,02 = 4 ---- desenvolvendo, temos:

[VN - 0,9996VN]/1,02 = 4 ---- como "1VN-0,9996VN = 0,0004VN], ficaremos com:

0,0004VN/1,02 = 4 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

0,0004VN = 1,02*4

0,0004VN = 4,08 ----- isolando-se "VN", teremos:

VN = 4,08/0,0004 --- note que esta divisão dá exatamente "10.200". Logo:

VN = 10.200,00 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este era o valor nominal do título da sua questão, que foi descontado 3 meses antes do seu vencimento.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.