achar o cosseno e o seno entre o vetor 3x-y+z e o vetor 4x-y+3z.
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Soluções para a tarefa
O cosseno e o seno entre o vetor 3x - y + z e o vetor 4x - y + 3z são: cos(x) = 17/√312 e sen(x) = √(23/312).
O vetor 3x - y + z é u = (3,-1,1). Já o vetor 4x - y + 3z é v = (4,-1,3).
Calculando o produto interno entre u e v, obtemos:
<u,v> = 3.4 + (-1).(-1) + 1.3
<u,v> = 12 + 2 + 3
<u,v> = 17.
A norma do vetor u é:
||u||² = 3² + (-1)² + 1²
||u||² = 9 + 1 + 1
||u||² = 12
||u|| = √12.
A norma do vetor v é:
||v||² = 4² + (-1)² + 3²
||v||² = 16 + 1 + 9
||v||² = 26
||v|| = √26.
Portanto, o cosseno entre os vetores u e v é igual a:
cos(x) = 17/√12.√26
cos(x) = 17/√312.
A relação fundamental da trigonometria nos diz que sen²(x) + cos²(x) = 1.
Assim, o seno entre os vetores u e v é igual a:
sen²(x) + (17/√312)² = 1
sen²(x) + 289/312 = 1
sen²(x) = 1 - 289/312
sen²(x) = 23/312
sen(x) = √(23/312).