Question

⚠️Achar a solução da equação diferencial de Ricatti a seguir:

obs: não roube pontos pq se não denuncio

ajudaaaa!!!!

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte equação diferencial:

$y'=1+x^2-2xy+y^2$, cuja solução conhecida é $y_1=x$.

Esta é uma equação diferencial de Riccati. Para resolvê-la, assumimos como solução geral a família de funções $y=y(x)$ tais que $y=y_1+v$, em que $v=v(x)$ é uma função de $x$.

Então, fazemos:

$y=x+v$

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$:

$\dfrac{d}{dx}(y)=\dfrac{d}{dx}(x+v)$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada é um operador linear, logo vale que: $\dfrac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\dfrac{d(f(x))}{dx}+\dfrac{d(g(x))}{dx}$.
• A derivada de uma função $y=y(x)$ é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(y(x))=\dfrac{d(y(x))}{dy}\cdot \dfrac{dy}{dx}$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a linearidade e a regra da cadeia

$\dfrac{d}{dx}(y)=\dfrac{d}{dx}(x)+\dfrac{d}{dx}(v)\\\\\\ \dfrac{d}{dy}(y)\cdot \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}(x)+\dfrac{d}{dy}(v)\cdot \dfrac{dv}{dx}$

Aplique a regra da potência

$1\cdot y^{1-1}\cdot \dfrac{dy}{dx}=1\cdot x^{1-1}+1\cdot v^{1-1}\cdot \dfrac{dv}{dx}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$\dfrac{dy}{dx}=1+ \dfrac{dv}{dx}$

Substituindo estes resultados na equação diferencial, temos:

$1+\dfrac{dv}{dx}=1+x^2-2x\cdot(x+v)+(x+v)^2$

Expanda o binômio e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$1+\dfrac{dv}{dx}=1+x^2-2x^2-2xv+x^2+2xv+v^2$

Subtraia $1$ em ambos os lados da igualdade e cancele os termos opostos

$\dfrac{dv}{dx}=v^2$

Esta é uma equação diferencial separável. Podemos reescrevê-la da seguinte maneira:

$\dfrac{dv}{v^2}=dx$

Integramos ambos os lados da igualdade:

$\displaystyle{\int \dfrac{dv}{v^2}=\int\,dx}$

Para calcular esta integral, aplique a regra da potência:$\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R}}$. Lembre-se que $\dfrac{1}{v^2}=v^{-2}$.

$\dfrac{v^{-2+1}}{-2+1}=\dfrac{x^{0+1}}{0+1}+C$

Some os valores nos expoentes e denominadores

$\dfrac{v^{-1}}{-1}=x+C$

Reescrevemos a potência de expoente negativo como fração

$-\dfrac{1}{v}=x+C$

Isolamos $v$

$v=-\dfrac{1}{x+C}$

Substituindo este resultado na solução geral da equação, temos:

$y(x)=x-\dfrac{1}{x+C},~C\in\mathbb{R}~~\checkmark$

Esta é a família de soluções desta equação diferencial de Riccati.