Question

Achar a equação do plano que passa:

(a) Pelo ponto P(2; -3;4) e e paralelo ao plano xOy.

(b) Pelo ponto P(1;2;5) e e paralelo ao plano xOz.

(c) Pelo ponto P(1; -2;6) e e paralelo ao plano yOz.

 

Alguém ai pode me ajudar?!

Answer 1

Fala aí, meu grande irmão Gabriel! "É nóis na fita" (rs...)

 

Belo exercício. Vou resolvê-lo para ficar como fonte de consulta para os colegas.

Vamos a ele.

 

Para encontrarmos a equação de um plano precisamos de duas informações fundamentais:

 

1. um ponto qualquer desse plano (no nosso caso, é o ponto P dado em cada um dos itens do exercício);

 

2. um vetor ortogonal (ou perpendicular, ou normal) a esse plano, que chamaremos de   $\vec{N}$   .

 

Para encontrar a equação do plano, devemos satisfazer a condição de que o vetor que passa por P seja ortogonal a   $\vec{N}$   , ou seja:

 

$<var><\vec{P},\vec{N}>=0 \Rightarrow (x-P_x)\cdot N_x + (y-P_y)\cdot N_y + (z-P_z)\cdot N_z=0\ (1)</var>$

 

onde:

 

$<var>\vec{P}=(x-P_x,y-P_y,z-P_z)\text{ e }\vec{N}=(N_x,N_y,N_z)</var>$

 

 

 

(a) o exercício informa que o plano que procuramos é paralelo ao plano xOy, ou seja, o vetor ortogonal ao plano procurado também é ortogonal ao plano xOy. Então,   $\vec{N}$   , em sua forma canônica, é dado por   $\vec{<var>N}=(0,0,1)</var>$   .

 

$P<var>=(2,-3,4)</var>$

 

Substituindo os valores acima em (1), obtemos a equação do plano:

 

$<var>(x-2)\cdot 0 + (y+3)\cdot 0 + (z-4)\cdot 1=0 \Rightarrow z-4=0 </var>$   (resposta)

 

 

 

(b) o exercício informa que o plano que procuramos é paralelo ao plano xOz, ou seja, o vetor ortogonal ao plano procurado também é ortogonal ao plano xOz. Então,   $\vec{N}$   , em sua forma canônica, é dado por   $\vec{<var>N}=(0,1,0)</var>$   .

 

$P<var>=(1,2,5)</var>$

 

Substituindo os valores acima em (1), obtemos a equação do plano:

 

$<var>(x-1)\cdot 0 + (y-2) \cdot 1 + (z-5) \cdot 0=0 \Rightarrow y-2=0 </var>$   (resposta)

 

 

 

(c) o exercício informa que o plano que procuramos é paralelo ao plano yOz, ou seja, o vetor ortogonal ao plano procurado também é ortogonal ao plano yOz. Então,   $\vec{N}$   , em sua forma canônica, é dado por   $\vec{<var>N}=(1,0,0)</var>$   .

 

$P<var>=(1,-2,6)</var>$

 

Substituindo os valores acima em (1), obtemos a equação do plano:

 

$<var>(x-1) \cdot 1 + (y+2) \cdot 0 + (z-6)\cdot 0=0 \Rightarrow x-1=0 </var>$   (resposta)