Question

Achar a distância do ponto P ao plano π

Answer 1

Resposta:

Distância de P ao plano π  é :

(6√ 11)  / 11  u.c.    valor exato

1,81 u. c.  valor aproximado

Explicação passo-a-passo:

Pedido :

Achar a distância do ponto P ( 1 , 1 , 1 ) ao plano π

π :  (( x = 2 + 2 h + 3 t ) ∧ ( y = - 1 + h + t )  ∧  ( z = 2 – h ) )

Resolução:

Do plano π tenho equações paramétricas ( parâmetros “ h ”  ;  “ t ” )

Vou calcular a equação geral do plano  π , pois há fórmula para calcular esta distância mas "funciona" com a equação  geral do plano.

Vou primeiro isolar o “h” na 3ª equação , pois esta só tem um parâmetro.

 h = – z + 2   ( “ h ” em função de z)

Com este valor de “ h ” vou substitui-lo na 2ª equação para obter o “ t ”

y = - 1 - z + 2 + t

⇔

y = - z + 1 + t

⇔

t = y + z – 1    ( “ t ” em função de y  e z )

Na 1ª equação vou substituir os valores encontrados para “ h ” e  “ t ”

x = 2 + 2 ( 2 – z ) + 3 ( y + z – 1 )

⇔

x = 2 + 4 – 2 z + 3 y + 3 z – 3  

⇔

x = 3 y  + z + 3

⇔

x – 3 y – z – 3 = 0   equação geral do plano π

 

Existe uma fórmula que dá diretamente a distância de um ponto P a um plano π , conhecendo a sua equação geral.

d(P ; π ) = ( | a * xp + b * yp + c * zp + d | ) / ( √a² + b² + c²) )

[ a expressão " a² + b² + c² " está toda debaixo da raiz quadrada ]

Notas Gerais:

As coordenadas do ponto P são → xp ; yp; zp

O plano π tem a equação geral → ax + by + cz + d = 0

Temos uma fração em que:

→ o numerador é o módulo ( |  | )  de   a * xp + b * yp + c * zp + d

→ o denominador é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes  a ; b ; c da equação geral do plano π

Aplicando a este caso :

P (1 , 1 , 1 )  xp = 1  ;  yp =  1 ; zp = 1

plano π:  x – 3 y – z – 3 = 0   →  a = 1 ;  b = - 3 ;  c = - 1 ;   d =  - 3

d (P ; π ) = ( | a * xp + b * yp + c * zp + d | ) / ( √a² + b² + c²) )

= ( | 1 * 1 + ( - 3 ) * 1 + ( -1 ) * 1 - 3 | ) / ( √1² + (- 3 )² + ( - 1)² )

= ( | 1 – 3 – 1 – 3 | ) / √ 11

= | - 6 | / √ 11

= 6 / √ 11

racionalizando o denominador

= ( 6 * √ 11 ) / ( √ 11 * √ 11 )

=  (6√ 11)  / 11     valor exato

para √ 11 ≈ 3,32

≈ ( 6 * 3,32 ) /11  

≈ 1,81 u. c.  valor aproximado

Sinais : ( * ) multiplicar       ( / ) dividir         ( ⇔ ) equivalente a  

( ≈ ) valor aproximado          ( |   | )  módulo     ( ∧ )  e  → quando usado em

sistemas assinala a interseção das equações.

Espero ter ajudado bem.  

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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.  

Bom estudo e um bom dia para si.