Question

Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma praia e, num dado instantem, veem sob respectivos ângulos de 30° e 45° um pássaro voando. Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele instante a distância entre A e G era de 240 m, então a quantos metros de altura o pássaro distava da superfície da praia ?

Sei que a resposta é 120 (√3-1), mas não estou conseguindo concluir o cálculo.

Answer 1

Observe a figura: todos os dados estão nela e minha resolução se baseará nela também.

Veja que temos dois casos a analisar. Vamos, então, analisar cada um dos casos separadamente:

CASO 1:
i) Visão da Gioconda
$\mathrm{tg} \hspace{0,2mm}45\°=\frac{PH}{GH}\Rightarrow \mathrm{tg} \hspace{0,2mm}45\°=\frac{h}{x}\\ \\ \boxed{x=h}$

ii) Visão de Abílio
$\mathrm{tg} \hspace{0,2mm}30\°=\frac{PH}{AH}\Rightarrow \mathrm{tg} \hspace{0,2mm}30\°= \frac{h}{240-x} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{240-h}\Rightarrow \\ \\\Rightarrow 240-h=h\sqrt{3}\Rightarrow h(\sqrt{3}+1)=240\Rightarrow h=\frac{240}{\sqrt{3}+1}\Rightarrow h=\frac{240}{\sqrt{3}+1}.\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \\ \\ \boxed{\boxed{120(\sqrt{3}-1) \ \mathrm{m}}}$


CASO 2:
iii) Visão da Gioconda
$\mathrm{tg} \hspace{0,2mm}45\°=\frac{PH}{GH}\Rightarrow \mathrm{tg} \hspace{0,2mm}45\°=\frac{h}{x}\\ \\ \boxed{x=h}$

iv) Visão de Abílio
$\mathrm{tg} \hspace{0,2mm}30\°=\frac{PH}{AH}\Rightarrow \mathrm{tg} \hspace{0,2mm}30\°= \frac{h}{240+x} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{240+h}\Rightarrow \\ \\\Rightarrow 240+h=h\sqrt{3}\Rightarrow h(\sqrt{3}-1)=240\Rightarrow h=\frac{240}{\sqrt{3}-1} \Rightarrow h=\frac{240}{\sqrt{3}+1}.\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \\ \\ \boxed{\boxed{120(\sqrt{3}+1) \ \mathrm{m}}}$


Então temos dois possíveis valores para a altura do pássaro, depende da interpretação do problema.